Hình học Euclid và phi Euclid

Euclide Hình học Euclide (Ơclit) là bộ môn hình học cổ điển được xây dựng dựa trên cơ sở công nhận, không chứng minh hệ tiên đề sau của Euclide:
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Hình học Euclid và phi Euclid Hình học Euclid EuclideHình học Euclide (Ơclit) là bộ môn hình học cổ điển được xây dựng dựa trên cơ sở côngnhận, không chứng minh hệ tiên đề sau của Euclide: • Hai điểm bất kỳ không trùng nhau xác định một đường thẳng và chỉ duy nhất một đường thẳng đó.Đường thẳng qua hai điểm A, B3 điểm A, B, C xác định mặt phẳng • Ba điểm bất kỳ không thẳng hàng (hay không nằm trên một đường thẳng) xác định một và chỉ duy nhất một mặt phẳng. • Nếu có ít nhất hai điểm khác nhau của một đường thẳng mà cùng thuộc về một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đó đều thuộc về mặt phẳng đó.Đường thẳng trên mặt phẳng2 mặt phẳng giao nhau • Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng ít nhất còn có một điểm chung nữa. • Từ một điểm bất kì nằm ngoài một đường thẳng, có thể kẻ được một và duy nhất chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó. (Tiên đề song song) Phát biểu khác: o Nếu hai đường thẳng cắt một đường thẳng thứ ba tạo ra hai góc trong cùng phía có tổng nhỏ hơn hai góc vuông, thì hai đường đó khi kéo dài đủ xa phải cắt nhau về phía ấy. o Hoặc đơn giản: tổng các góc trong một tam giác bằng 180°Đường thẳng song songHai đường thẳng vuông góc • Từ một điểm bất kì nằm ngoài một đường thẳng, có thể kẻ được một và duy nhất chỉ một đường thẳng vuông góc với đường thẳng đó.Hình học phi EuclideHình học phi Euclid là bộ môn hình học dựa trên cơ sở phủ nhận ít nhất một trong sốnhững tiên đề Euclid. Hình học phi Euclid được bắt đầu bằng những công trình nghiêncứu của Lobachevsky (được Lobachevsky gọi là hình học trừu tượng) và phát triển bởiBolyai, Gauss, Riemann.Hình học phi Euclid là cơ sở toán học cho lý thuyết tương đối của Albert Einstein, thôngqua việc đề cập đến độ cong hình học của không gian nhiều chiều.Sơ thảo về các hình học phi EuclidHình học EuclidHình học Euclid dựa trên cơ sở công nhận, không cần chứng minh hệ thống các tiên đềsau: • Hai điểm bất kỳ không trùng nhau xác định một đường thẳng và chỉ duy nhất một đường thẳng đó. • Ba điểm bất kỳ không thẳng hàng (hay không nằm trên một đường thẳng) xác định một và chỉ duy nhất một mặt phẳng. • Nếu có ít nhất hai điểm khác nhau của một đường thẳng mà cùng thuộc về một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đó đều thuộc về mặt phẳng đó. • Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng ít nhất còn có một điểm chung nữa. • Từ một điểm ngoài một đường thẳng, có thể kẻ được một và duy nhất chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó. (Tiên đề song song) Lưu ý, các tiên đề Euclid ngầm hiểu là áp dụng trong hình học phẳng.Hình học LobachevskyHình học Lobachevsky (còn gọi hình học hyperbolic) do nhà toán học Nga NikolaiIvanovich Lobachevsky khởi xướng, dựa trên cơ sở bác bỏ tiên đề về đường thẳng songsong. Lobachevsky giả thiết rằng từ một điểm ngoài đường thẳng ta có thể vẽ được hơnmột đường thẳng khác, nằm trên cùng mặt phẳng với đường thẳng gốc, mà không giaonhau với đường thẳng gốc (đường thẳng song song). Từ đó, ông lập luận tiếp rằng từđiểm đó, có thể xác định được vô số đường thẳng khác cũng song song với đường thẳnggốc, từ đó xây dựng nên một hệ thống lập luận hình học logic.Để xem xét hình học Lobachevsky ứng dụng vào lý thuyết không-thời gian cong, cầnthiết phải xem lại khái niệm đường thẳng nối hai điểm. Trong lý thuyết tương đối rộng,trong cơ học lượng tử và trong vật lý thiên văn, người ta mặc nhiên thừa nhận đó làđường đi của tia sáng-sóng điện từ giữa hai điểm đó.Trong hình học Euclid, tổng các góc trong của một tam giác bằng 180°, nhưng trong hìnhhọc phi Euclid, tổng các góc đó không bằng 180°, và phụ thuộc vào kích thước của tamgiác đó.Hình học EllipticTrong hình học Hyperbolic, tổng các góc Trên hình học mặt cầu, tổng các góc trongtrong một tam giác nhỏ hơn 180° của một tam giác cầu lớn hơn 180°