Hướng dẫn cách tính đúng dành cho sinh viên phần 7

7.3. Đa thức nội suy Lagrange với các mối cách đềuGiả sử hàm f(x) nhận giá trị yi tại các điểm tương ứng xi ( i = 0, n ) cách đều một khoảng h.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Hướng dẫn cách tính đúng dành cho sinh viên phần 7 1 = (−(x − 1)(x − 2 )(x − 4 ) + 4x (x − 2 )(x − 4 ) + x (x − 1)(x − 4 )) 4 1 ( x − 4)(−( x − 1)( x − 2) + 4x ( x − 2) + x ( x − 1)) = 4 1 = ( x − 4)(4 x 2 − 6 x − 2) 4 Cách 2: ( x − 1)( x − 2)( x − 4) x ( x − 2)( x − 4) x ( x − 1)( x − 4) +3 −1 L3(x) = 2 (−1)(−2)(−4) 1(−1)(−3) 2(1)(−2) 1 ( x − 4)(4 x 2 − 6 x − 2) = 47.3. Đa thức nội suy Lagrange với các mối cách đều Giả sử hàm f(x) nhận giá trị yi tại các điểm tương ứng xi ( i = 0, n ) cách đều một khoảng h. x − x0 Đặt t = , khi đó: h x - x0 = h*t x i - x 0 = h *i x- x1 = h(t - 1) xi = x1 = h(i-1) ... ... x - xi-1 = h(t- (i-1)) xi - xi-1 = h x - xi+1 = h(t -(i+1)) xi - xi+1 = -h ... ... x - xn = h(t - n) xi - xn = -h(n - i) t ( t − 1) * ... * ( t − (i − 1)( t − (i + 1)) * ... * ( t − n ) p n ( x 0 + ht ) = i(i − 1) * ... * 1(−1) n −i * 1 * 2 * ... * (n − i) t ( t − 1) * ... * ( t − n ) = ( t − i) * i!(n − i)!*(−1) n −i yi (−1)n −i n Ln(x0 + ht) = t(t -1) ... (t - n) ∑ i =0 (t − i)i!(n − i)! t(t − 1)...(t − n) n (−1)n−i .yi cin ∑ t −i Ln(x0 + ht) = n! i=0 Ví dụ 2. Tìm hàm nội suy của f(x) thoả mãn: 43 xi 0 2 4 f(x0) 5 -2 1 Giải: Cách 1: W(x) = x (x - 2) (x - 4) W’(0) = (0 - 2) (0 - 4) = -8 W’(2) = (2 - 0) (2 - 4) = -4 W’(4) = (4 - 0) (4 - 2) = 8 5 2 1 L2(x) = x ( x − 2)( x − 4)( − + ) 8( x − 0) ( x − 2)(−4) ( x − 4).8 1 5 2 1 x ( x − 2)( x − 4) + ( − + = ) 4 x ( x − 2) 4( x − 4) 8 1 (5( x − 2)( x − 4) + 4x ( x − 4) + x ( x − 2)) = 8 1 1 (10x 2 − 48x + 40) = (5x 2 − 24 x + 20) = 8 4 Cách 2: t(t −1)(t − 2) 5C0 − 2C1 1.C2 L2 (2t) = ( 2− + 2) 2 t − 0 t −1 t − 2 2! t ( t − 1)(t − 2) 5 4 1 (+ + ) = t t −1 t − 2 2 12 = (5(t −1)(t − 2) + 4t(t − 2) + t(t −1) 2 1 = (10 t − 24 t + 10 ) = 5t − 12 t + 5 2 2 2 52 Vậy L2 (x) = x − 6x + 5 47.4. Bảng nội suy Ayken 44 Khi tính giá trị của hàm tại một điểm x=c nào đó bất kỳ mà không cần phải xác định biểu thức của f(x). Khi đó ta có thể áp dụng bảng nội suy Ayken như sau7.4.1. Xây dựng bảng nội suy Ayken c-x0 x0-x1 x0-x2 … x0-xn d1 d2 x1-x0 c-x1 x1-x2 … x1-xn d3 x2-x0 x2-x1 c-x2 … ...