Hướng dẫn học sinh trung học phổ thông khá giỏi sử dụng phương pháp song ánh giải một số bài toán đếm

Phương pháp song ánh ( PPSA) là một phương pháp hay để giải một số bài toán đếm. Tuy nhiên, ở nước ta hiện nay có ít bài viết về phương pháp này và chưa tác giả nào đề cập đến việc dạy phương pháp này như thế nào cho đối tượng học sinh (HS) khá giỏi trung học phổ thông (THPT). Chúng tôi xin chia sẻ kinh nghiệm dạy các khái niệm ánh xạ (AX), đơn ánh (ĐA), toàn ánh (TA), song ánh (SA). Đồng thời, phân tích một số ví dụ về vận dụng PPSA vào giải một số bài toán đếm để giúp HS hiểu rõ hơn về phương pháp này.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Hướng dẫn học sinh trung học phổ thông khá giỏi sử dụng phương pháp song ánh giải một số bài toán đếm Nguyễn Thị Ngọc Ánh Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 128(14): 127 - 131 HƯỚNG DẪN HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG KHÁ GIỎI SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP SONG ÁNH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẾM Nguyễn Thị Ngọc Ánh* Trường THPT Chuyên Thái Nguyên TÓM TẮT Phương pháp song ánh ( PPSA) là một phương pháp hay để giải một số bài toán đếm. Tuy nhiên, ở nước ta hiện nay có ít bài viết về phương pháp này và chưa tác giả nào đề cập đến việc dạy phương pháp này như thế nào cho đối tượng học sinh (HS) khá giỏi trung học phổ thông (THPT). Chúng tôi xin chia sẻ kinh nghiệm dạy các khái niệm ánh xạ (AX), đơn ánh (ĐA), toàn ánh (TA), song ánh (SA). Đồng thời, phân tích một số ví dụ về vận dụng PPSA vào giải một số bài toán đếm để giúp HS hiểu rõ hơn về phương pháp này. Từ khóa: Phương pháp song ánh, bài toán đếm. MỞ ĐẦU* NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Năm 1992, các tác giả Chen Chuan-Chong và Koh Khee-Meng đã viết về Nguyên lí Đơn ánh và Nguyên lí Song ánh trong cuốn “Những nguyên lí và kĩ thuật trong Tổ hợp”. Với kí hiệu X là số phần tử của tập hợp X, nội dung của hai nguyên lí này được tác giả nêu ra như sau: Dạy khái niệm AX, ĐA, TA, SA cho HS khá giỏi THPT: Nguyên lí Đơn ánh (The Injection Principle): Cho A và B là hai tập hợp hữu hạn. Nếu có một đơn ánh từ A đến B, thì A  B . Nguyên lí Song ánh (The Bijection Principle): Cho A và B là hai tập hợp hữu hạn. Nếu có một song ánh từ A đến B, thì A B . Phương pháp vận dụng hai nguyên lí trên vào giải toán gọi là PPSA [1, tr - 230]. Phương pháp này đã được đề cập đến trong các tài liệu: [1], [3], [4], [5], [7]. Tuy nhiên, chưa tác giả nào đề cập đến việc phải dạy PPSA như thế nào cho HS khá giỏi THPT. Qua bài viết này, chúng tôi xin chia sẻ kinh nghiệm vận dụng PPSA ở trường THPT với đối tượng là HS khá giỏi. Để vận dụng phương pháp này hiệu quả trước tiên chúng ta phải giúp HS phân biệt được các khái niệm AX, ĐA, TA, SA, sau đó hướng dẫn các em vận dụng tính chất của các AX vừa học vào các ví dụ nhằm từng bước hình thành PPSA. * Email: anhtoan416@gmail.com Khái niệm AX, ĐA, TA, SA a. Ánh xạ f từ tập hợp X vào tập hợp Y (ký hiệu f: X  Y) là một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử x  X với một phần tử xác định y  Y, phần tử y gọi là ảnh của phần tử x, ký hiệu y = f(x). Với mỗi tập A  X: f(A) = gọi là ảnh của tập A.  f ( x) x A  b. TA là AX từ X vào Y trong đó f(X) = Y. c. ĐA là AX từ X vào Y thỏa mãn: x1 , x2  X : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) . d. SA là AX vừa là ĐA, vừa là TA. Dạy các khái niệm AX, ĐA, TA, SA cho HS khá giỏi THPT Trong thực tế giảng dạy chúng tôi nhận thấy HS thường khó phân biệt các khái niệm: AX, ĐA, TA, SA . Do đó, chúng tôi xin đề xuất một phương án dạy bốn khái niệm trên thông qua các hoạt động (HĐ) như sau [2] : HĐ1: Giáo viên (GV) vẽ hai vòng tròn rời nhau. GV gọi 3 HS đứng vào vòng 1 và qui ước đây là tập hợp các con. Gọi 4 HS nữ đứng vào vòng 2 và qui ước đây là tập hợp các mẹ đẻ của các con ở vòng kia. Tiếp đó, GV dùng 3 sợi dây để nối tương ứng giữa con và mẹ để tạo ra mô hình (MH) 1. 127 Nguyễn Thị Ngọc Ánh Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 128(14): 127 - 131 M1 C1 C2 M2 M4 M3 C3 Mô hình 1 HĐ 2: GV đưa ra khái niệm AX, minh họa thông qua MH1 và phân tích: Tập X : tập các con. Tập Y: tập các mẹ đẻ. Vậy tương ứng mỗi x  X với một phần tử xác định y  Y được thể hiện ở đây là tương ứng mỗi con thuộc tập các con có duy nhất một mẹ đẻ ( biểu thị bằng sợi dây nối), chú ý là không con nào ‘đứng bơ vơ’ vì không có mẹ tương ứng. Đây là điểm cần nhớ của khái niệm AX. Hđ 3: GV cùng HS lần lượt xây dựng các MH 2, MH 3 và yêu cầu xác định xem MH nào thỏa mãn khái niệm AX. C3 C1 M1 C2 M2 Mô hình 2 C1 M1 C2 M2 C3 M3 Mô hình 3 HS trả lời MH2 không phải là AX vì có con C3 ‘đứng bơ vơ’, MH3 thỏa mãn vì tuy có C2 và C3 chung một mẹ nhưng mỗi con vẫn có duy nhất một mẹ. HĐ 4: GV vẽ MH1, MH3 lên bảng và thông báo cho HS biết MH1 thỏa mãn điều kiện cứ hai con khác nhau thì có hai mẹ khác nhau nên là MH của một ĐA. Nhưng MH3 không thỏa mãn khái niệm ĐA vì con C2 và C3 chung mẹ M2. GV yêu cầu HS thử nêu khái niệm ĐA và chỉnh sửa lại khi phát biểu của HS chưa chính xác. 128 HĐ 5: GV thông báo TA là AX thỏa mãn không có mẹ nào trong tập các mẹ đẻ ‘đứng bơ vơ’ và yêu cầu HS xây dựng một số MH minh họa. Từ đó, GV hướng dẫn HS nhớ khái niệm TA. HĐ6: Cuối cùng GV đưa ra khái niệm SA và yêu cầu HS xây dựng MH minh họa. Sau khi HS đã nắm được bốn khái niệm AX, ĐA, TA, SA. GV và HS cùng tìm thêm các ví dụ và phản ví dụ trong toán học và trong thực tế minh họa cho các khái niệm này. Đồng thời, giúp các em nêu ra được các tính chất của các khái niệm đó. Áp dụng PPSA vào giải một số bài toán đếm Nguyễn Thị Ngọc Ánh Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 128(14): 127 - 131 PPSA được coi là một kỹ thuật đếm nâng cao được vận dụng trong giải toán tổ hợp. Ý nghĩa của phương pháp là thay thế cho việc đếm số phần tử của một tập hợp A nhất ...