Khai thác tính chất hàm số bậc nhất, bậc hai trong giải bài toán về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất - Cầm Thanh Hải

Tài liệu "Khai thác tính chất hàm số bậc nhất, bậc hai trong giải bài toán về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất" được biên soạn bởi giáo viên Cầm Thanh Hải đề cập đến cách khai thác tính chất đơn điệu của hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai một ẩn để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một loại biểu thức cơ bản. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Khai thác tính chất hàm số bậc nhất, bậc hai trong giải bài toán về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất - Cầm Thanh Hải Cầm Thanh Hải – Phòng GDTrH Sở GD&ĐT Tháng 8- 2015 KHAI THÁC TÍNH CHẤT HÀM SỐ BẬC NHẤT, BẬC HAI TRONG GIẢI BÀI TOÁN VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤTI. Đặt vấn đề- Có nhiều cách tiếp cận để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất củamột biểu thức.- Chuyên đề này chỉ đề cập đến cách khai thác tính chất đơn điệu của hàm số bậcnhất, hàm số bậc hai một ẩn để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một sốloại biểu thức cơ bản.II. Các tính chất của hàm số bậc nhất, bậc hai một ẩn được khai thác và sửdụng1. Hàm số bậc nhất một ẩnXét hàm số y = ax + b = f(x) với x là ẩn; a, b là các tham số, a≠0. Ta có:- Nếu a > 0 thì, với α≤ x≤β có: f(α)≤f(x)≤f(β); min f(x) = f(α); max f(x) = f(β);- Nếu a 0 thì: ∆- với ∀ ℝ => f(x)≥f( ) = ; min f(x) = f( );- với ∀ / ≤ α≤ x≤β => f(α)≤f(x)≤f(β); min f(x) = f(α); max f(x) = f(β);- với ∀ /α≤ x≤β≤ => f(β)≤f(x)≤f(α); min f(x) = f(β); max f(x) = f(α);- với α≤ ≤β, ∀ /α≤ x≤β => f( )≤f(x)≤ max {f(α); f(β)}; min f(x) = f( );max f(x) = max {f(α); f(β)};- Một cách tổng quát:với ∀ / α≤ x≤β => min f(α); f(β); f( ) ≤ f(x) ≤ max {f(α); f(β)}; 1 Cầm Thanh Hải – Phòng GDTrH Sở GD&ĐT Tháng 8- 2015min f(x) = min f(α); f(β); f( ) ; max f(x) = max {f(α); f(β)}.* Chứng minh:- Ta có các biến đổi sau: ∆i) f(x) = a +bx+c = a + - với ∀ ℝ;ii) f(x) = (x- α)(ax+aα+b) + f(α); f(x) = (x- β)(ax+aβ +b) + f(β) với ∀ , ℝ;Một cách tổng quát: f(x) = (x- m)(ax+am+b) + f(m) với ∀ ℝ; ∆- Từ i) suy ra f(x)≥f( ) = với ∀ ℝ (đpcm!)- Với a > 0, ∀ / ≤ α≤ x≤β thì: (x- α)>0, (ax+aα+b)>(2aα+b)>0; (x- β)(2aα+b)>0 nên từ ii) suy ra f(α)≤f(x)≤f(β) (đpcm!);- Với a > 0, ∀ / α≤x≤β≤ thì: (x- α)>0, (ax+aα+b) Cầm Thanh Hải – Phòng GDTrH Sở GD&ĐT Tháng 8- 2015III. Các thí dụThí dụ 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của E(x) = x + | − 1|+| − 2|+| − 3|+| − 4| với ℝ* Tóm tắt lời giải: 10 − 3 ớ ≤1 ⎧ ⎪8 − ớ 1< khó tìm ra lời giải hơn.Thí dụ 3.Cho biểu thức f(x) = x2 + 4x – 6 với ℝ/ x≥1. Tìn minf(x).* Tóm tắt lời giải:- Viết f(x) = (x-1)(x+5) – 1 ; suy ra f(x) ≥ -1 với ∀x≥1 ; f(x) = -1 x = 1- Vậy với ∀x≥1 minf(x) = -1. 3 Cầm Thanh Hải – Phòng GDTrH Sở GD&ĐT Tháng 8- 2015Thí dụ 4.Cho biểu thức g(x) = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) với ℝ. Tìn min g(x).* Tóm tắt lời giải:- Có g(x) =(x+1)(x+4)(x+2)(x+3) = (x2+5x+4)( x2+5x+6);- Đặt x2+5x+4 = t => t =(x+ )2 - ≥ - với ∀ ℝ ; khi đó g = t(t+2) với t ≥ - ±√- g = (t+1)2 -1=> g ≥ -1 ; g = -1 t = -1 x2+5x+4 = -1 x= .Thí dụ 5.Cho h(x) = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1 với ℝ . Tìm min h(x)* Tóm tắt lời giải:- Viết h(x) = (x2+x+1) = t2.- với ℝ thì t= x2+x+1 = (x+ )2 + ≥ => h(x) = t2 ≥- Từ đó có min h(x) = , đạt khi x =Thí dụ 6.Cho k(x) = 2|x − 5x + 4| - x2 + 5x với ℝ. Tìm min k(x)* Tóm tắt lời giải: −5 +8 ớ ≤1- Với ℝ có: k(x) = −3 + 15 − 8 ớ 1 < < 4 −5 +8 ớ ≥4- Với ≤ 1, có k(x)= − 5 + 8=(x-1)(x-4)+4 ≥ 4 ;- Với 1 < < 4, k(x)= −3 + 15 − 8 =(x-1)(12-3x)+4 ≥ 4;- Với ≥ 4, k(x)= − 5 + 8=(x-1)(x-4)+4 ≥ 4.- Từ đó suy ra min k(x) = 4, đạt khi x = 1 hoặc x = 4.* Nhận xét:- Nếu xét chẳng hạn 0≤x≤5, sẽ có cả maxk(x) => có bài toán hay và phức tạp hơn;- Có thể chuyển sang bài toán với nội dung phương trình:Biện luận theo a số nghiệm của phương trình: 2|x − 5x + 4| - x2 + 5x = a 4 Cầm Thanh Hải – Phòng GDTrH Sở GD&ĐT Tháng 8- 2015Thí dụ 7.Cho p(x) = 4x2 – 4ax + a2 – 2a với ế ℝ/-2≤x≤0, a là tham số. Tìm giá trịcủa a để min p(x) = 2.* Tóm tắt lời giải:- Nếu > 0 hay a>0, có p(x) = 4x(x-a) + a2 – 2a nên p(x) ≥ a2 – 2a với -2≤x≤0;suy ra min p(x) = a2 – 2a; min p(x) = 2 a2 – 2a = 2; a>0 a = 1+√3;- Nếu -2≤ ≤0 hay -4≤a≤0 , có p(x) = (2x-a)2 -2a nên p(x) ≥ -2a với -2≤x≤0;suy ra min p(x) = – 2a; min p(x) = 2 -2a = 2 a = -1;- Nếu Cầm Thanh Hải – Phòng GDTrH Sở GD&ĐT Tháng 8- 2015* Tóm tắt lời giải: −2 +1 =0- Xét hệ (1) ; hệ (1) có nghiệm ... a ≠ - 4. 2 + +5 = 0- Nếu a ≠ - 4, có I(x, y) ≥ ...