Khảo sát cực trị hàm số 12

Tính đơn điệu của hàm số Định lý: (điều kiện cần) Định lý: (điều kiện đủ) Định lý mở rộng B. Cực tri của hàm số: Định lý: Định lý: (dấu hiệu thứ nhất) Định lý : (dấu hiệu thứ hai) Định lý Bài 1: Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 + m (1) . Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị; đồng thời ba điểm cực trị đó tạo thành một tam giác có diện tích bằng 32 2
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Khảo sát cực trị hàm số 12 CỰC TRỊ HÀM BẬC BAI,Tóm tắt lý thuyết: 1.Hàm số y = f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 ) 2.Đạo hàm : y = f ( x) = 3ax 2 + 2bx + c 3.Điều kiện tồn tại cực trị Hàm số y = f (x) có cực trị ⇔ y = f (x) có cực đại và cực tiểu ⇔ f ( x) = 0 cóhai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ = b 2 − 3ac  0 . 4.Kỹ năng tính nhanh cực trị: Bước1:Thực hiện phép chia f (x) cho f ( x) ta có: 1 b 2 b  bc  f ( x ) =  x +  f ( x ) + c −  x +  d −  3 9a  3 3a   9a  Tức là: f ( x) = q( x). f ( x) + r ( x)  2 b bc  f ( x1) = 0  y1 = f ( x1) = r ( x1) = 3 (c − 3a ) x1 + (d − 9a )  Bước 2:Do  nên   f ( x 2) = 0  y 2 = f ( x 2) = r ( x 2) = 2 (c − b ) x 2 + (d − bc )   3 3a 9a.Hệ quả:Đường thẳng đi qua CĐ,CT có phương trình là: 2 b bc Y = r (x) hay y = (c − ) + ( d − ) 3 3a 9aII.Các dạng bài tập:Dạng 1:Sự tồn tại và vị trí của các điểm cực trị:Bài tập: 1Bài 1:Tìm m để hàm số : y = x 3 + mx 2 + (m + 6) x − (2m + 1) có cực đại và cực 3tiểuGiải:Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ phương trình y ( x) = 0 có hai nghiệmphân biệt ⇔ x 2 + 2mx + (m + 6) = 0có hai nghiệm phânbiệt ⇔ ∆ = m 2 − m − 6 > 0 ⇔ (m < −2) ∪ (m > 3)Bài 2:Tìm m để hàm số y = (m + 2) x 3 + 3x 2 + mx − 5 có cực đại và cực tiểuGiải:Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ phương trình y ( x) = 0 có hai nghiệm phânbiệt ⇔ 3(m + 2) x 2 + 6 x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt m + 2 ≠ 0 m ≠ −2⇔ ⇔ 2 ⇔ −3 < m ≠ −2 < 1 ∆ = −3m − 6m + 9 > 0 m + 2 m − 3 < 0 2 1Bài 3:Tìm m để hàm số y = x 3 + (m − 2) x 2 + (5m + 4) x + (m 2 + 1) đạt cực trị tại 3x1,x2 thỏa mãn điều kiện x1 1Bài 4:Tìm m để hàm số y = x 3 + (m + 3) x 2 + 4(m + 3) x + (m 2 − m) đạt cực trị tại 3x1,x2 thỏa mãn điều kiện -1 0   f cd = f ( x 2) = −6 3 .Phương trình đường thẳng đi qua CĐ,CT là y = −6( x − 1)Bài 2:Tìm m để hàm số f ( x) = 2 x 3 + 3(m − 1) x 2 + 6(m − 2) x − 1 có đường thẳngđiqua CĐ,CT song song với đường thẳng y = ax + bGiải:.Đạo hàm f ( x) = 6( x 2 + (m − 1) x + m − 2) f ( x) = 0 ⇔ g ( x) = x 2 + (m − 1) x + m − 2 = 0hàm số có CĐ,CT ⇔ f ( x) = 0hayg ( x) = 0 có hai nghiệm phân biệt⇔ ∆ g = (m − 3) 2 > 0 ⇔ m ≠ 3.Thực hiện phép chia f (x) cho g (x) ta cóf ( x) = g ( x)[2 x + (m − 1)] − (m − 3) 2 x − (m 2 − 3m + 3)Với m ≠ 3 thì g ( x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực trị tạix1,x2  g ( x1) = 0  y1 = f ( x1) = −(m − 3) 2 x1 − (m 2 − 3m + 3) do  nên   g ( x 2) = 0  y 2 = f ( x 2) = −(m − 3) 2 x 2 − (m 2 − 3m + 3) suy ra đường thẳng qua CĐ,CT là( ∆ ): y = −(m − 3) 2 x − (m 2 − 3m + 3) ta có ( ∆ ) song song với đường m ≠ 3 m ≠ 3, a < 0 a < 0 a < 0 y = ax + b ⇔  ⇔ ⇔ ⇔ − (m − 3) = a ( m − 3) = −a m − 3 = ± − a m = 3 ± − a 2 2vậy nếu a ≥ 0 thì không tồn tại m;nếu aTa có CĐ,CT nằm trên đường thẳng  3m − 1 = 2 − (3m − 1) 2 = −4 y = −4 x ⇔ ( ∆ ) ≡ ( y = −4 x ) ⇔  ⇔  1 ⇔ m =1  m(m − 1)(1 − 2m) = 0  m ∈ 0;1;    2Bài 4: Tìm m để hàm số f ( x) = x 3 + mx 2 + 7 x + 3 có đường thẳng đi qua cực đạivà cực tiểu vuông góc với đường thẳng y = 3x − 7Giải:Hàm số có CĐ,CT ⇔ f ( x) = 0 có hai nghiệm phân biệt⇔ ∆ g = m 2 − 21 > 0 ⇔ m > 21.Thực hiện phép chia f (x) cho f ( x) ta có 1 1 2 7mf ( x) = f ( x)[ x + m] − [21 − m 2 ] x + 3 − 3 9 9 9Với m > 21 thì f ( x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực trịtại x1,x2  2 7m  y1 = f ( x1) = 9 (21 − m ) x1 + 3 − 9 2 ...