Khoảng cách giữa tâm đường tròn Euler và tâm đường tròn Apollonius

Nội dung chính của bài viết "Khoảng cách giữa tâm đường tròn Euler và tâm đường tròn Apollonius" trình bày một số lời giải hình học đơn giản. Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo chi tiết nội dung bài viết này.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Khoảng cách giữa tâm đường tròn Euler và tâm đường tròn Apollonius KHOẢNG CÁCH GIỮA TÂM ĐƯỜNG TRÒNEULER VÀ TÂM ĐƯỜNG TRÒN APOLLONIUS Trịnh Xuân Minh – Macau TÓM TẮT Như tiêu đề đã nêu, phần này giới thiệu với bạn đọc về hệ thức liên hệ giữa tâm hai đường tròn tiếp xúc trong và ngoài với ba đường tròn bàng tiếp của một tam giác. Cách chứng minh của tác giả đã lâu (2009) và tương đối cồng kềnh nên hy vọng sau bài viết này có thể có một lời giải hình học đơn giản hơn dành cho nó. Để cho ngắn gọn và đỡ phức tạp, những điều đã biết hoặc cơ bản xin không chứng minh ở đây, thay vào đó người viết sẽ chú thích nguồn để bạn đọc tiện tham khảo.Cho 4ABC và những ký hiệu tương ứng sau: S là diện tích 4ABC p là nửa chu vi 4ABC R là bán kính đường tròn ngoại tiếp 4ABC r là bán kính đường tròn nội tiếp 4ABC ! ! ! M .˛M ; ˇM ; M / nếu ˛M MA C ˇM MB C M M C D 0ETrước tiên chúng ta nhắc lại một số định lý và hệ thức cơ bản sau:Định lý Euler. Trong một tam giác, chân ba đường cao, ba trung điểm của ba cạnh, ba trung điểmcủa ba đoạn thẳng nối ba đỉnh với trực tâm, tất cả chín điểm này cùng nằm trên một đường tròngọi là đường tròn 9 điểm hay đường tròn Euler. Hình 1. Đường tròn Euler 75 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 RĐường tròn Euler có bán kính là và trong hệ thống các tâm Kimberling, tâm của nó là X5 với 2˛X5 D a cos.B C /:Định lý Feuerbach. Trong một tam giác, đường tròn Euler tiếp xúc đồng thời với đường tròn nộitiếp và ba đường tròn bàng tiếp. Hình 2. Định lý FeuerbachĐịnh lý trên được công bố năm 1822 bởi nhà hình học người Đức, Karl Wihelm Feuerbach(1800-1834).Đường tròn Apollonius. Đường tròn tiếp xúc trong với cả ba đường tròn bàng tiếp của một tamgiác gọi là đường tròn Apollonius của tam giác đó 76Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Hình 3. Đường tròn Apollonius p2 C r 2Đường tròn Apollonius có bán kính là và có tâm Kimberling X970 với ˛.X970 / D 4r 2 2 2R.p r /a cos A a S:Một số hệ thức cơ bản abc 4:1/ S D D pr D .p a/ra 4R 4:2/ a2 C b 2 C c 2 D 2p 2 2r 2 8Rr 2S 4:3/ a cos A C b cos B C c cos C D R 2 a C b2 C c2 p 2 r 2 4Rr 4:4/ cos2 A C cos2 B C cos2 C D 3 D 3 4R2 2R2 .a2 C b 2 C c 2 / 4:5/ ab cos C C bc cos A C ca cos B D D p 2 r 2 4Rr 2 S 4:6/ a cos B cos C C b cos C cos A C c cos A cos B D R 2 .ˇM c/2 C .M b/2 C 2bcˇM M cos A 4:7/ MA D .˛M C ˇM C M /2 4:8/ .˛M C ˇM C M /MS 2 D ˛M AS 2 C ˇM BS 2 C M CS 2 ˛M ˇM c 2 C ˇM M a2 C M ˛M b 2 ˛ M C ˇM C MĐường tròn Euler và đường tròn Apollonius gây sự chú ý đặc biệt với bản thân tôi bởi tính chấttiếp xúc của chúng với ba đường tròn bàng tiếp trong một tam giác. Cũng vì đó mà tôi từng nghĩđến sự tồn tại của một hệ thức đẹp liên hệ giữa chúng, và quả đúng như vậyĐịnh lý. Gọi .E; RE / và .E 0 ; RE 0 / lần lượt là đường tròn Euler và đường tròn Apollonius của r4ABC . Khi đó EE 02 D .RE C RE 0 /2 1 REChứng minh. Ta có ˛E 0 D R p 2 r 2 a cos A a2 S . ÁpXdụng 4.2 và 4.3 X X ˛E 0 D R p 2 r 2 a cos A S a2 cycli c cycli c cycli c 2 2 2S 2 2 DR p r S 2p 2r 8Rr R D 8RrS .1/ 77 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015Áp dụng hệ thức 4.7 với M E và ˛E D a cos.B C / ...