KĨ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM

Kỹ thuật chọn điểm rơi hay còn được gọi kỹ thuật điều chỉnh và lựa chọn tham số. Đối với một số BĐT đồng dạng không đối xứng thì dấu BĐT trong BĐT thường xảy ra khi giá trị của các biến tướng ứng không bằng nhau. Vì vậy, cần lựa chọn kỹ thuật hợp lý để giải các bài toán BĐT (hay cực trị) dạng không đối xứng là rất cần thiết. Một trong những kỹ thuật cơ bản nhất chính là xây dựng thuật toán sắp thứ tự gần đều. (kỹ thuật điểm rơi). Kỹ thuật chủ yếu...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
KĨ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải KĨ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM (CAUCHY) Kỹ thuật chọn điểm rơi hay còn được gọi kỹ thuật điều chỉnh và lựa chọn tham số.Đối với một số BĐT đồng dạng không đối xứng thì dấu BĐT trong BĐT thường xảy ra khi giá trịcủa các biến tướng ứng không bằng nhau. Vì vậy, cần lựa chọn kỹ thuật hợp lý để giải các bàitoán BĐT (hay cực trị) dạng không đối xứng là rất cần thiết. Một trong những kỹ thuật cơ bảnnhất chính là xây dựng thuật toán sắp thứ tự gần đều. (kỹ thuật điểm rơi).Kỹ thuật chủ yếu ở đây thường là các giá trị trung gian được xác định theo cách chọn đặc biệt đểtất cả các dấu đẳng thức đồng thời xảy ra. Tham số phụ đưa vào một cách hợp lý để phương trìnhxác định chúng có nghiệm.  Moät soá baát ñaúng thöùc cô baûn Baát ñaúng thöùc Cauchy Cho n soá thöïc khoâng aâm a1 , a2 ,..., an (n 2) ta luoân coù a1 a2  an n a1a2 ...an . Daáu “=” xaûy ra khi vaø chæ khi a1 a2  an . n Moät vaøi heä quaû quan troïng: 1 1 1 (a1 a2  an )  n2 vôùi ai 0, i 1, n a1 a2 an 1 1 1 n2  vôùi ai 0, i 1, n a1 a2 an a1 a2  an Cho 2n soá döông ( n Z , n 2 ): a1 , a2 ,..., an , b1 , b2 ,..., bn ta coù: n (a1 b1 )(a2 b2 )...(an bn ) n a1a2 ...an n b1b2 ...bnBài toán mở đầu:VD1. Cho . Ta có . Khi đó ta có hệ quả với thìRõ ràng với bài toán trên là kết quả của BĐT Cauchy.Nếu thay điều kiện bởi hay hay … thì lời giải bài toán như nào?? 1Bài 1: Cho a 3 . Tìm Min của S a aChuyên đề BĐT cauchy 1Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt HảiBình luận và lời giải :+Sai lầm : 1 1S a 2 a. 2 min S 2 a a+Nguyên nhân : 1min S 2 a 1 ađiều này mâu thuẫn với giả thiết a 3+Xác định điểm rơi :Ta thấy rằng khi a tăng thì S cũng càng lớn nên dẫn đến dự đoán khi a=3 thì S nhận giá trị nhỏ nhất . Và 10min S a 3 . Do BĐT Cauchy xãy ra dấu đẳng thức tại điều kiện các số tham gia phải bằng nhau 3 a 1nên ta đưa tham số sao cho tại điểm rơi a = 3 thì cặp số và phải bằng nhau.Với a=3 cho cặp số a 3 3 1 9 1 1 3 a 3+Lời giải đúng : 1 a 1 8a a 1 8.3 10 10S a 2 . MinS a 9 a 9 9 a 9 3 3Đẳng thức xãy ra a 3 1Bài 2: Cho a 2 .Tìm Min của S a a2+Xác định điểm rơi : a=2 cho cặp sốChuyên đề BĐT cauchy 2Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải a 2 2 1 8 1 1 4 a2 4+Sai lầm : 1 a 1 7a a 1 7a 2 7a 2 7.2 9S a 2 . a2 8 a2 8 8 a2 8 8a 8 8.2 8 4 9Với a=2 thì min S 4 2 2+Nguyên nhân : Lời giải trên mắc sai lầm ở việc đánh giá mẫu số : “ Nếu a 2 thì là đánh giá ...