Luận án Tiến sĩ Toán học ngành Lý thuyết xác suất và thống kê toán: Các định lý giới hạn dạng luật số lớn đối với mảng các biến ngẫu nhiên

Mục đích nghiên cứu của luận án là thiết lập các định lý giới hạn dạng luật số lớn đối với mảng các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach cho các trường hợp: có hoặc không có điều kiện về cấu trúc của mảng các biến ngẫu nhiên và có hoặc không có điều kiện hình học của không gian Banach.

Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận án Tiến sĩ Toán học ngành Lý thuyết xác suất và thống kê toán: Các định lý giới hạn dạng luật số lớn đối với mảng các biến ngẫu nhiên Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o TR−êng ®¹i häc vinh --------------------------- NGUYÔN v¡N HuÊn C¸C §ÞNH Lý GiíI H¹N D¹NG LUËT Sè LíN §èi víi m¶ng c¸c biÕn ngÉu nhiªnChuyªn ngµnh: Lý thuyÕt x¸c suÊt vµ Thèng kª to¸n häc M· sè: 62. 46. 15. 01 TãM T¾T LuËn ¸n tiÕn sÜ to¸n häc Vinh - 2011 1 MỞ ĐẦU1. Lý do chọn đề tài Luật số lớn nói riêng, các định lý giới hạn trong lý thuyết xác suất nóichung đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Luật số lớn cónhiều ứng dụng trong thống kê, kinh tế, y học và một số ngành khoa họcthực nghiệm khác. Chính vì vậy, việc nghiên cứu luật số lớn không chỉ có ýnghĩa lý thuyết mà còn có ý nghĩa thực tiễn to lớn. A. N. Kolmogorov là người xây dựng lý thuyết xác suất bằng phươngpháp tiên đề và đã thiết lập luật số lớn nổi tiếng mang tên ông. Luật sốlớn đối với dãy các biến ngẫu nhiên tiếp tục được nhiều nhà toán học nhưJ. Marcinkiewicz, A. Zygmund, H. D. Brunk, Y. V. Prokhorov, K. L. Chung,W. Feller,... quan tâm nghiên cứu. Cho đến nay, nghiên cứu luật số lớn vẫnlà một vấn đề có tính thời sự của lý thuyết xác suất. Đối với mảng các biến ngẫu nhiên, cấu trúc nhiều chiều của tập các chỉsố làm nảy sinh nhiều vấn đề. Trên tập các chỉ số, quan hệ thứ tự thôngthường không có tính chất tuyến tính; ta có thể xây dựng các quan hệ thứtự khác nhau; các dạng hội tụ có thể được xét khi max hoặc min của cáctọa độ tiến tới vô cùng... Các đặc điểm đó góp phần tạo nên tính đa dạngcủa các kết quả nghiên cứu về luật số lớn đối với mảng các biến ngẫu nhiên. Các luật số lớn cổ điển chủ yếu tập trung nghiên cứu cho dãy một chỉsố các biến ngẫu nhiên độc lập và nhận giá trị thực. Một hướng phát triểncác luật số lớn cổ điển là nghiên cứu về luật số lớn đối với dãy và mảng cácbiến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach. Các kết quả theohướng nghiên cứu này thường có mối liên hệ chặt chẽ với lý thuyết hình họcBanach và tạo ra sự giao thoa giữa lý thuyết xác suất và giải tích hàm. Với các lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án củamình là: “Các định lý giới hạn dạng luật số lớn đối với mảng cácbiến ngẫu nhiên”. 22. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận án là thiết lập các định lý giới hạn dạng luật số lớnđối với mảng các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach chocác trường hợp: có hoặc không có điều kiện về cấu trúc của mảng các biếnngẫu nhiên và có hoặc không có điều kiện hình học của không gian Banach.3. Đối tượng nghiên cứu Luật số lớn đối với mảng các biến ngẫu nhiên.4. Phạm vi nghiên cứu Luận án tập trung nghiên cứu các định lý giới hạn dạng luật số lớn chomảng các biến ngẫu nhiên bất kỳ nhận giá trị trong không gian Banach thựcvà khả ly, mảng phù hợp, mảng hiệu martingale và mảng hiệu martingaletheo khối nhận giá trị trong không gian Banach p-khả trơn, mảng các biếnngẫu nhiên độc lập, độc lập theo khối và mảng các biến ngẫu nhiên p-trựcgiao theo khối nhận giá trị trong không gian Banach Rademacher loại p.5. Phương pháp nghiên cứu Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong khi thựchiện đề tài. Về mặt kỹ thuật, chúng tôi sử dụng ba phương pháp cơ bảntrong chứng minh luật số lớn. Đó là phương pháp chặt cụt, phương phápsử dụng bất đẳng thức cực đại dạng bất đẳng thức Hájek-Rényi và phươngpháp dãy con.6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Các kết quả của luận án góp phần làm phong phú thêm cho hướng nghiêncứu về các định lý giới hạn trong lý thuyết xác suất. Luận án là tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học và nghiêncứu sinh chuyên ngành Lý thuyết xác suất và Thống kê toán học.7. Tổng quan và cấu trúc luận án Trong luận án, chúng tôi nghiên cứu các định lý giới hạn dạng luật số lớnđối với mảng các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach chocác trường hợp: có hoặc không có điều kiện về cấu trúc của mảng các biếnngẫu nhiên và có hoặc không có điều kiện hình học của không gian Banach. 3 Trước hết, chúng tôi giới thiệu khái niệm mảng hiệu martingale và chứngminh một bất đẳng thức cực đại dạng bất đẳng thức Doob đối với mảnghiệu martingale. Chúng tôi cũng chứng minh một bất đẳng thức cực đạidạng bất đẳng thức Hájek-Rényi đối với mảng các biến ngẫu nhiên. Sửdụng những kết quả này cùng với việc bổ sung các tính chất hình học củakhông gian Banach, chúng tôi nhận được các đặc trưng của không gianBanach p-khả trơn và không gian Banach Rademacher loại p dưới dạng bấtđẳng thức moment đối với mảng các biến ngẫu nhiên. Đối với luật yếu số lớn, dựa vào các bất đẳng thức moment đối với mảnghiệu martingale, mảng hiệu martingale theo hàng và phương pháp chặt cụt,chúng tôi mở rộng tiêu chuẩn hội tụ suy biến cho trường hợp |n| → ∞ đốivới mảng phù hợp và mảng phù hợp theo hàng, nhận giá trị trong khônggian Banach p-khả trơn. Điểm lưu ý trong phần chứng minh là cách xâydựng mảng hiệu martingale và mảng hiệu martingale theo hàng tương ứngtừ mảng phù hợp và mảng phù hợp theo hàng. Sử dụng những kết quả này,chúng tôi thu được luật yếu số lớn Kolmogorov-Feller đối với mảng phù hợpvà mảng phù hợp theo hàng, nhận giá trị trong không gian Banach p-khảtrơn với giả thiết các biến ngẫu nhiên đó bị trội ngẫu nhiên. Đối với luật mạnh số lớn, chúng tôi tiến hành nghiên cứu cho cả haitrường hợp n → ∞ và |n| → ∞. Về luật mạnh số lớn cho trường hợpn → ∞, chúng tôi đưa ra điều kiện để một mảng các biến ngẫu nhiên bấtkỳ, nhận giá trị trong một không gian Banach tùy ý tuân theo luật mạnhsố lớn tổng quát. Từ kết quả này, chúng tôi nhận được các đặc trưng củakhông gian Banach p-khả trơn và không gian Banach Rade ...