Luận văn: Phân loại tôpô các mặt compact

Tôpô là một ngành toán học nghiên cứu những bất biến qua nhóm các phépbiến đổi liên tục. Một trong những đối tượng nghiên cứu của tôpô học là đa tạptôpô. Đây là sự khái quá hoá nhiều chiều từ khái niệm đường và mặt trong khônggian Euclide 3-chiều. Việc nghiên cứu đa tạp đã được công nhận là có nhiều ứngdụng trong các lĩnh vực khác nhau như: Hình học, Giải tích phức, Đại số, Hìnhhọc đại số, Cơ học cổ điển, Thuyết tương đối, Thuyết lượng tử,…...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn:Phân loại tôpô các mặt compact 1Luận văn tốt nghiệpPhân loại tôpô các mặt compact 2 MỤC LỤCTrang phụ bìa ................................ ............................................................. iLời cam đoan ................................................................ ............................. iiMục lục ..................................................................................................... 1Một số kí hiệu ................................ ............................................................ 2Phần mở đầu .......................................................................................... 3Phần nội dung ........................................................................................ 5 Chương I: Kiến thức chuẩn bị ........................................................... 5 I. Tôpô , không gian tôpô ................................................................. 5 II. Ánh xạ liên tục, đồng phôi .......................................................... 6 III. Tổng, tích, thương và p hép d án các không gian tôpô ................. 7 Chương II: Đa tạp tôpô ...................................................................... 9 I. Đa tạp n-chiều ............................................................................. 9 II. Mặt, mặt compact ..................................................................... 12 III. Mặt đ ịnh hướng được và không đ ịnh hướng được ................... 17 IV. Tổng liên thông ................................ ....................................... 18 Chương III: Phân loại mặt compact ................................ ............... 20 I. Dạng chính tắc của m ặt cầu, tổng liên thông các mặt xuyến và tổng liên thông các mặt phẳng xạ ảnh ............... 20 II. Phép tam giác phân của mặt compact ....................................... 24 III. Định lí phân lo ại tôpô các mặt compact ................................... 28 IV. Hệ quả ................................ .................................................... 34 V. Ví d ụ m inh hoạ ................................ ................................ ........ 34 VI. Sơ lược về một hướng chứng m inh kh ác của định lí ................ 43Phần kết luận ....................................................................................... 46Tài liệu tham kh ảo ................................................................................... 47 3 MỘT SỐ KÍ HIỆUKí hiệu Giải thích Trang xuất hiện đầu tiên Biên của tập A 6 A Rn Không gian Euclide n-chiều 7 Hai không gian đồng phôi X Y 8f-1(U) Tạo ảnh của tập U 8 Dn Hình cầu đơn vị mở (đ ĩa mở) n-chiều 10 Bán cầu bắc n-chiều 10 Sn  Ánh xạ đồng nhất trên A 10 idA u Chuẩn Euclide của u 11 Sn Mặt cầu n-chiều 12 S2 Mặt cầu (2-chiều) 13 13 Hình cầu mở tâm x, bán kính B(x,  ) P2 15 Mặt phẳng xạ ảnh (th ực) 2 15 Nửa trên của mặt cầu S 2 D Hình tròn đơn vị đóng (đ ĩa đóng) 15 D2 15 Hình tròn đơn vị mở (đĩa mở) 19 Tổng liên thông của S1 và S2S1 # S2 44 Đặc trưng Euler của m ặt S (S) 4 Phần mở đầuI. Lí do chọn đề tài Tôpô là một n gành toán học n ghiên cứu những bất biến qua nhóm các phépb iến đổi liên tục. Một trong những đối tượng nghiên cứu của tôpô họ c là đa tạptôpô. Đây là sự khái qu á hoá nhiều chiều từ khái niệm đường và m ặt trong khônggian Euclide 3-chiều. Việc n ghiên cứu đa tạp đã được công nhận là có nhiều ứngdụng trong các lĩnh vực khác nhau nh ư: Hình h ọc, Giải tích phức, Đại số, Hìnhhọc đại số, Cơ học cổ đ iển, Thuyết tương đối, Thuyết lượng tử ,… Việc p hân lớp các đa tạp đư ợc xem là một trong những vấn đ ề quan trọngnhất của n gành tôpô. Đối với trường h ợp đa tạp 2-chiều vấn đ ề đã được giảiquyết với “định lí ph ân loại ...