Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Bất đẳng thức Berry-Esseen

Một trong những công cụ để đánh giá khoảng cách giữa W và Φ hay đánh giá được tốc độ hội tụ của định lý giới hạn trung tâm là bất đẳng thức Berry - Esseen. Trong đề tài này tác giả sẽ trình bày về lịch sử, quá trình hoàn thiện, chứng minh, mở rộng, phát triển và ứng dụng của bất đẳng thức này.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Bất đẳng thức Berry-EsseenLời cám ơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc của mình tớiGS.TSKH Nguyễn Duy Tiến, người đã tận tình giúp đỡ và chỉ bảo tôitrong suốt quá trình làm luận văn tốt nghiệp. Qua đây tôi cũng xin chânthành cám ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo trong Bộ môn Xácsuất Thống kê Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia HàNội, những người đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiêncứu tại trường. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Trường Đại học Sao Đỏ, Khoa Khoahọc Cơ bản và các đồng nghiệp đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tác giả antâm học tập và hoàn thành tốt luận văn. Do mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học và còn hạn chếvề thời gian thực hiện nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót.Tác giả kính mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạnđể luận văn được hoàn thiện hơn. Hà Nội, năm 2014 1Mục lụcMở đầu 41 Các kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Định nghĩa và phân loại . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Hàm phân phối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.3 Hàm đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.4 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . 8 1.2 Phân bố chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Phân bố chuẩn một chiều . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Phân bố chuẩn nhiều chiều . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Khoảng cách biến phân toàn phần . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . 11 1.5 Phương pháp Stein cho xấp xỉ chuẩn . . . . . . . . . . . . . 12 1.5.1 Phương trình Stein và ý nghĩa . . . . . . . . . . . . 12 1.5.2 Xây dựng các đẳng thức Stein . . . . . . . . . . . . 13 1.5.3 Xấp xỉ chuẩn của hàm trơn . . . . . . . . . . . . . . 142 Bất đẳng thức Berry - Esseen một chiều 16 2.1 Giới thiệu chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Bất đẳng thức Berry – Esseen đều . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.1 Trường hợp cùng phân bố . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 2.2.2 Trường hợp không cùng phân bố . . . . . . . . . . . 18 2.2.3 Chứng minh bất đẳng thức Berry - Esseen đều . . . 19 2.2.4 Áp dụng định lý Berry – Esseen đều . . . . . . . . . 24 2.3 Bất đẳng thức Berry – Esseen không đều . . . . . . . . . . 26 2.3.1 Trường hợp cùng phân bố . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.2 Trường hợp không cùng phân bố . . . . . . . . . . . 26 2.3.3 Chứng minh bất đẳng thức Berry - Esseen không đều 273 Bất đẳng thức Berry - Esseen nhiều chiều 36 3.1 Trường hợp cùng phân bố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2 Trường hợp không cùng phân bố . . . . . . . . . . . . . . . 49Kết luận 51Tài liệu tham khảo 52 3Mở đầu Xác suất là một bộ phận của toán học nghiên cứu về các hiện tượngngẫu nhiên. Lý thuyết xác suất nhằm tìm ra những quy luật trong nhữnghiện tượng tưởng chừng không có quy luật này; và nó được ra đời đầu tiênở nước Pháp vào nửa cuối thế kỷ 17. Trong lý thuyết xác suất định lý giới hạn trung tâm là một trongnhững định lý cơ bản và có nhiều ứng dụng thực tiễn. Nó đưa ra một phéptính xấp xỉ cho hàm phân phối của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập Wso với hàm phân phối chuẩn hóa Φ. Tuy nhiên định lý này không đánh giáđược tốc độ hội tụ của giới hạn W→ Φ. Trong thực tế ta lại quan tâm nhiều đến khoảng cách giữa phân bốcủa W và phân bố chuẩn hóa. Khoảng cách này càng nhỏ thì xấp xỉ chúngta cần càng có giá trị. Một trong những công cụ để đánh giá khoảng cáchgiữa W và Φ hay đánh giá được tốc độ hội tụ của định lý giới hạn trungtâm là bất đẳng thức Berry – Esseen. Trong đề tài này tôi sẽ trình bàyvề lịch sử, quá trình hoàn thiện, chứng minh, mở rộng, phát triển và ứngdụng của bất đẳng thức này. Nội dung đề tài gồm ba chương: Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị. Chương này đưa ra một số kiếnthức về biến ngẫu nhiên, phân phối chuẩn, khoảng cách biến phân toànphần, phương pháp Stien. Đây là những kiến thức bổ trợ sẽ được nhắc đếnở những chương sau. 4 Chương 2. Bất đẳng Berry - Esseen một chiều. Chương này tác giảphát biểu định lý Berry - Esseen đều và không đều. Với mỗi dạng tác giả ...