Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Cấu trúc đại số của độ đo xác suất

Chúng ta đã được học và tìm hiểu một số cấu trúc đại số cơ bản như nhóm, vành, trường,...Mở rộng lên chút nữa tìm hiểu về cấu trúc đại số của độ đo xác suất phức tạp hơn rất nhiều như đại số Borel, đại số Bool, độ đo đại số, không gian Riesz, không gian Acsimet, không gian hàm... Luận văn này trình bày ba định lý mà tôi thấy rất hay trong lý thuyết độ đo: Định lý Maharam, định lý phép nâng, định lý Kwapien.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Cấu trúc đại số của độ đo xác suất ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------ TRƯƠNG THỊ LIÊNCẤU TRÚC ĐẠI SỐ CỦA ĐỘ ĐO XÁC SUẤT LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Mã số: 60.46.01.06 Người hướng dẫn khoa học TS. NGUYỄN THỊNH HÀ NỘI - NĂM 2014Mục lụcLỜI NÓI ĐẦU 3LỜI CẢM ƠN 51 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 6 1.1 Đại số Bool . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Đồng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Tính Dedekind đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.3 Bao hình trên (Upper envelopes) . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.4 Chuỗi điều kiện đếm được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.5 Hàm cộng tính trên đại số Bool . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.6 Đại số thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Độ đo đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1 Nguyên tắc phân loại của độ đo đại số . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2 Tích đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.3 Topo của độ đo đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.4 Đồng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.5 Phiếm hàm cộng tính trên độ đo đại số . . . . . . . . . . . . 14 1.3 Nguyên tắc phân loại của không gian độ đo . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.1 Địa phương hóa ngặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.2 Nguyên tử và phi nguyên tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4 Định lý trù mật của Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5 Định lý Radon-Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5.1 Định lý Radon-Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5.2 Kỳ vọng có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.6 Tích vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.7 Định lý Vitali trên Rr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.8 Matingle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.9 Không gian Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.9.1 Không gian tuyến tính được sắp từng phần . . . . . . . . . . 18 1.9.2 Không gian Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.9.3 Dải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 1.9.4 Không gian Acsimet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.9.5 Không gian Riesz Acsimet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.9.6 Không gian đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.10 Không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.10.1 Không gian L0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.10.2 Suprema và infima trong L0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.10.3 Dải trong L0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.11 Tiên đề chọn và bổ đề Zorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.11.1 Tiên đề chọn . . ...