Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phương trình vi phân với toán tử khả nghịch phải và áp dụng

Mục tiêu của luận văn là trình bày lý thuyết và cách giải bài toán giá trị ban đầu của lý thuyết toán tử khả nghịch phải áp dụng công thức Taylor Gontcharov và trường hợp riêng của nó là công thức Taylor. Luận văn được chia làm hai chương: Chương 1 - Tính chất của toán tử khả nghịch phải, Chương 2 - Phương trình với toán tử khả nghịch phải và áp dụng.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phương trình vi phân với toán tử khả nghịch phải và áp dụng ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐÀO NGUYỄN VÂN ANHPHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VỚI TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI - NĂM 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐÀO NGUYỄN VÂN ANHPHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VỚI TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU HÀ NỘI - NĂM 2015Mục lụcMở đầu 21 Tính chất của toán tử khả nghịch phải 3 1.1 Một số lớp toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Toán tử đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.3 Toán tử Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Toán tử khả nghịch phải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1 Toán tử khả nghịch phải . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2 Toán tử ban đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.3 Công thức Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3 Các phép toán của toán tử nghịch đảo phải Volterra . . . . . 21 1.4 Đặc trưng của đa thức của toán tử khả nghịch phải . . . . . . 252 Phương trình với toán tử khả nghịch phải và áp dụng 30 2.1 Phương trình với toán tử khả nghịch phải . . . . . . . . . . . 30 2.2 Bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3 Ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Kết luận 56Tài liệu tham khảo 57 iMở đầu Phương trình vi phân đóng một vai trò quan trọng trong kĩ thuật, vậtlý, kinh tế và một số ngành khác. Có nhiều phương pháp để giải một phươngtrình vi phân với các điều kiện ban đầu và một trong số các phương pháp đólà sử dụng lý thuyết toán tử khả nghịch phải. Mục tiêu của Luận văn là trình bày lý thuyết và cách giải bài toán giátrị ban đầu của lý thuyết toán tử khả nghịch phải áp dụng công thức Taylor-Gontcharov và trường hợp riêng của nó là công thức Taylor. Dưới sự hướngdẫn của GS. TSKH. Nguyễn Văn Mậu, tác giả đã hoàn thành luận văn vớiđề tàiPhương trình vi phân với toán tử khả nghịch phải và áp dụng.Luận văn được chia làm hai chương: • Chương 1: Tính chất của toán tử khả nghịch phải. • Chương 2: Phương trình với toán tử khả nghịch phải và áp dụng.Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản về các lớp toán tử tuyến tínhvà tính chất của toán tử khả nghịch phải, công thức Taylor. Chương 2 nộidung chính của Luận văn, trình bày về phương trình với toán tử khả nghịchphải và áp dụng công thức Taylor vào việc giải các bài toán cụ thể. Mặc dù có nhiều cố gắng, song do thời gian và trình độ còn hạn chế nênluận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tác giả rất mong nhận đượcsự góp ý của các thầy cô và các bạn để Luận văn được hoàn thiện hơn. Qua luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS. TSKHNguyễn Văn Mậu, người Thầy đã truyền cho tác giả có niềm say mê nghiêncứu toán học. Thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả trong suốt quátrình học tập và hoàn thiện luận văn này. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo Sau 1đại học, Khoa Toán-Cơ-Tin, các thầy cô đã tạo điều kiện thuận lợi để hoànthành bản luận văn này. Sau cùng tác giả xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến gia đình đã luôn tạo điềukiện tốt nhất trong suốt quá trình học cũng như thực hiện luận văn này. Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng năm 2015 Tác giả Đào Nguyễn Vân Anh 2Chương 1Tính chất của toán tử khả nghịchphải1.1 Một số lớp toán tử tuyến tính1.1.1 Toán tử tuyến tínhĐịnh nghĩa 1.1 ([1]-[2]). Giả sử X và Y là hai không gian tuyến tính trêncùng một trường vô hướng F . Một ánh xạ A từ tập tuyến tính dom A củaX vào Y được gọi là toán tử tuyến tính nếu A(x + y) = Ax + Ay với mọi x, y ∈ dom A, A(tx) = tAx với mọi x ∈ dom A, t ∈ F.Tập dom A được gọi là miền xác định của toán tử A. Giả sử G ∈ dom A. Đặt AG = {Ax : x ∈ G}. Theo định nghĩa,AG ⊂ Y . Tập AG được gọi là ảnh của tập G. Tập Adom A được gọi là miềngiá trị của toán tử A (tập giá trị của A) và là không gian con của Y . Tập tất cả các toán tử tuyến tính với miền xác định chứa trong khônggian X và miền giá trị chứa trong không gian Y ký hiệu bởi L(X → Y ).Định nghĩa 1.2 ([1]-[2]). Toán tử đồng nhất trong không gian X là toán tửIX xác định bởi IX x = x với mọi x ∈ X . Sau này nếu không gây nhầm lẫn, ta sẽ ký hiệu I thay cho IX .Định nghĩa 1.3 ([1]-[2]). Nếu toán tử A ∈ L(X → Y ) là tương ứng 1-1 thì 3toán tử nghịch đảo A−1 được định nghĩa theo cách: Với mỗi y ∈ Adom A A−1 y = x, trong đó x ∈ dom A và y = Ax. Để ý rằng, theo giả thiết, mỗi y ứng với một x ∈ dom A duy nhấtvà dom A−1 = A dom A ⊂ Y, A−1 dom A−1 = dom A ⊂ X . Với mỗi x ∈dom A, nếu y = Ax thì (A−1 A)x = A−1 (Ax) = A−1 y = x, và (AA−1 )y =A(A−1 y) = Ax = y . Do đó A−1 A = Idom A , AA ...