Luận văn Thạc sĩ Khoa học toán học: Các không gian có độ cong hằng

Luận văn Thạc sĩ Khoa học toán học: Các không gian có độ cong hằng bao gồm những nội dung về các khái niệm tôpô vi phân và hình học vi phân; các không gian có động cong hằng; các không gian riemanian có độ cong hằng. Với các bạn chuyên ngành Toán học thì đây là tài liệu hữu ích.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Khoa học toán học: Các không gian có độ cong hằng BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH ************* LEÂ MINH HOØA Chuyeân ngaønh: Hình hoïc Toâ Poâ Maõ Soá: 1.01.05 LUAÄN VAÊN THAÏC SÓ KHOA HOÏC TOAÙN HOÏCNGÖÔØI HÖÔÙNG DAÃN KHOA HOÏC: Ts. Nguyeãn Thaùi Sôn THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH – NAÊM 2004 MUÏC LUÏC TrangMÔÛ ÑAÀU 1CHÖÔNG I: 3 CAÙC KHAÙI NIEÄM CÔ BAÛN VEÀ TOÂ POÂ VI PHAÂN & HÌNH HOÏC VI PHAÂN §1. Ña taïp khaû vi 1.1- Ña taïp khaû vi 3 1.2- Tröôøng vectô 5 1.3- Tröôøng tenxô 12 1.4- Nhoùm Lie – Ñaïi soá Lie 16 §2 Khoâng gian phaân thôù 2.1- Khoâng gian phaân thôù 20 2.2- Ñoàng caáu phaân thôù 21 §3 Lieân thoâng 3.1- Lieân thoâng treân khoâng gian phaân thôù 27 3.2- Daïng cong vaø phöông trình caáu truùc 29 3.3- Lieân thoâng tuyeán tính 33 3.4- Tenxô cong – Tenxô xoaén 37 3.5- Lieân thoâng Riemanian 40 3.6- Söï bieåu dieãn trong toïa ñoä ñòa phöông 41CHÖÔNG II: CAÙC KHOÂNG GIAN COÙ ÑOÄ CONG HAÈNG 45 2.1- Ñònh lyù Vitt 45 2.2- Ñònh lyù 47 2.3- Ñònh lyù 48 2.4- Ñònh lyù 50 2.5- Ñònh lyù 54 2.6- Ñònh lyù 56 2.7- Ñònh lyù (Heä quaû Killing – Hopf) 56 2.8- Ñònh lyù (Ñònh lyù Riman) 57CHÖÔNG III: CAÙC KHOÂNG GIAN RIEMANIAN COÙ ÑOÄ CONG HAÈNG 59 §1. Nhöõng khaûo saùt ñaïi soá coù lieân quan 1.1- Ñònh lyù 59 1.2- Ñònh lyù 59 1.3- Ñònh lyù 60 1.4- Ñònh lyù 61 1.5- Ñònh lyù 61 §2. Ñoä cong thieát dieän 2.1- Ñònh lyù 62 2.2- Ñònh lyù 63 2.3- Heä quaû 64 2.4- Ñònh lyù 66 §3. Caùc khoâng gian Riemanian coù ñoä cong haèng 3.1- Ñònh lyù 67 3.2- Heä quaû 74KEÁT LUAÄN 76TAØI LIEÄU THAM KHAÛO MÔÛ ÑAÀU Hình hoïc toâ poâ laø moät ngaønh hoïc laâu ñôøi vaø phaùt trieån maïnh trong hônnöûa theá kyû gaàn ñaây, vôùi nhöõng kieán thöùc veà lyù thuyeát ña taïp khoâng gian phaânthôù vaø lyù thuyeát lieân thoâng. Noù ñaõ trang bò cho chuùng ta nhöõng kieán thöùc cô sôûñeå aùp duïng vaø nghieân cöùu nhöõng vaán ñeà cô baûn cuûa hình hoïc vi phaân, hìnhhoïc cao caáp maø chuùng ta ñaõ bieát trong giaùo trình ñaïi hoïc. Kieán thöùc veà “ñoä cong” trong hình hoïc vi phaân laø moät kieán thöùc heát söùccô baûn. Tuy nhieân, trong giaùo trình ñaïi hoïc phaïm vi giôùi haïn chæ laø ñoä congcuûa caùc taäp trong En hoaëc Rn. Treân cô sôû ñaõ ñöôïc nghieân cöùu caùc lyù thuyeát cô baûn cuûa hình hoïc toâ poâ,chuùng toâi maïnh daïn choïn ñeà taøi: “Caùc khoâng gian coù ñoä cong haèng” vôùi noäidung chuû yeáu laø neâu ñöôïc quaù trình xaây döïng caùc khoâng gian coù ñoä cong haèngmoät caùch toång quaùt. Töø ñoù, seõ xaây döïng caùc khoâng gian haèng moät caùch cuï theånhö khoâng gian Riemanian coù ñoä cong haèng… Muïc ñích nghieân cöùu goàm hai noäi dung chính: + Giôùi thieäu quaù trình xaây döïng caùc khoâng gian coù ñoä cong haèng toångquaùt thoâng qua caùc ñònh lyù töø caùc khaùi nieäm cô baûn vaø caùc ñònh lyù cô sôû. + Cuï theå hoùa caùc khoâng gian toång quaùt baèng caùc khoâng gian cuï theå“Khoâng gian Riemanian coù ñoä cong haèng”. Trong luaän vaên chæ nghieân cöùu caùc khoâng gian coù ñoä cong haèng cô baûnvaø quen thuoäc. -1- Ñeå thöïc hieän muïc ñích nghieân cöùu noùi treân chuùng toâi nghieân cöùu caùc lyùthuyeát cô baûn cuûa hình hoïc toâ poâ: lyù thuyeát ña ...