Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bất đẳng thức trong lớp các hàm lượng giác và lượng giác ngược

Lượng giác không chỉ là đối tượng nghiên cứu mà còn là công cụ đắc lực trong nhiều lĩnh vực khác của toán học. Một trong những phương pháp được sử dụng trong đại số là khảo sát các tính chất của đa thức lượng giác để áp dụng trong các bài toán ước lượng đánh giá đa thức và phân thức hữu tỷ, các tính toán liên quan đến đạo hàm và tích phân của biểu thức đại số... Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bất đẳng thức trong lớp các hàm lượng giác và lượng giác ngược ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- HOÀNG THỊ HOÀNG ANH BẤT ĐẲNG THỨCTRONG LỚP CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC VÀ LƯỢNG GIÁC NGƯỢC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- HOÀNG THỊ HOÀNG ANH BẤT ĐẲNG THỨCTRONG LỚP CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC VÀ LƯỢNG GIÁC NGƯỢC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu THÁI NGUYÊN - 2018 iiMục lục MỞ ĐẦU ivChương 1. Một số tính chất của các hàm lượng giác và lượng giác ngược 1 1.1 Đồng nhất thức lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Một số đồng nhất thức liên quan đến hàm sin và cosin . . 1 1.1.2 Một số đồng nhất thức liên quan đến hàm số tang và cotang 5 1.2 Tính chất của các hàm lượng giác ngược . . . . . . . . . . . . . . 9Chương 2. Bất đẳng thức trong lớp các hàm lượng giác và lượng giác ngược 13 2.1 Bất đẳng thức đại số sinh bởi các hàm lượng giác . . . . . . . . . 13 2.1.1 Bất đẳng thức sinh bởi hàm cosin . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.2 Bất đẳng thức sinh bởi hàm sin . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Bất đẳng thức đại số sinh bởi các hàm lượng giác ngược . . . . . . 19 2.2.1 Một số dạng bất đẳng thức giữa lớp hàm arcsin và arccosin 19 2.2.2 Một số dạng bất đẳng thức giữa lớp hàm arctan và arccotan 23Chương 3. Một số dạng toán liên quan 28 3.1 Các bài toán cực trị trong lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.2 Phương pháp lượng giác trong đại số và hình học . . . . . . . . . 35 3.2.1 Phương pháp lượng giác trong đẳng thức . . . . . . . . . 35 3.2.2 Phương pháp lượng giác trong bất đẳng thức . . . . . . . . 41 3.2.3 Phương pháp lượng giác trong phương trình, bất phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2.4 Phương pháp lượng giác trong hình học . . . . . . . . . . 50 3.3 Một số dạng toán liên quan từ các đề thi Olympic . . . . . . . . . 60 iiiKẾT LUẬN 66TÀI LIỆU THAM KHẢO 67 ivMỞ ĐẦUChuyên đề lượng giác là một trong những chuyên đề quan trọng ở bậc trung họcphổ thông. Tuy nhiên, do giảm tải về nội dung mà các vấn đề sâu sắc liên quanđến lượng giác ngược không còn được đề cập trong sách giáo khoa. Lượng giác không chỉ là đối tượng nghiên cứu mà còn là công cụ đắc lực trongnhiều lĩnh vực khác của toán học. Một trong những phương pháp được sử dụngtrong đại số là khảo sát các tính chất của đa thức lượng giác để áp dụng trong cácbài toán ước lượng đánh giá đa thức và phân thức hữu tỷ, các tính toán liên quanđến đạo hàm và tích phân của biểu thức đại số. . .Trong các kì thi học sinh giỏi toán các cấp, Olympic Toán sinh viên, các bài toánliên quan tới áp dụng lượng giác để khảo sát bất đẳng thức và bài toán cực trị liênquan thường xuyên được đề cập. Những dạng toán này thường được xem là thuộcloại khó, nhiều dạng toán cần tới phần kiến thức về nội suy đa thức lại không nằmtrong chương trình chính thức của giáo trình Đại số và Giải tích bậc trung học phổthông hiện hành. Với mong muốn cung cấp thêm tài liệu tổng hợp về chuyên đề lượng giác chogiáo viên và học sinh giỏi tôi chọn đề tài luận văn ”Bất đẳng thức trong lớp cáchàm lượng giác và lượng giác ngược”. Luận văn nhằm trình bày một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức trongđa thức lượng giác và xét các ứng dụng liên quan đến các bài toán cực trị, khảo sátphương trình, bất phương trình. . . . Để hoàn thành nội dung luận văn, tác giả có sửdụng các tài liệu tham khảo [1]-[6]. Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận và 3 chương. Chương 1. Một số tính chất của các hàm lượng giác và lượng giác ngược. Chương này trình bày các tính chất cơ bản của các hàm lượng giác và lượnggiác ngược. Xét các ví dụ áp dụng liên quan. v Chương 2. Bất đẳng thức trong đa thức lượng giác và lượng giác ngược. Chương này trình bày các bất đẳng thức đại số sinh bởi các hàm lượng giác,lượng giác ngược và các dạng toán liên quan. Chương 3. Một số dạng toán liên quan. Xét một số dạng toán về phương trình, bất phương trìn ...