Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bất đẳng thức và đồng nhất thức về tổng các hàm phần nguyên

Luận văn nhằm trình bày một số kết quả nghiên cứu gần đây (xem Mircea Merca, Inequalities and Identities Involving Sums of Integer Functions, Journal of Integer Sequences, Vol. 14 (2011)) về một bài toán cổ điển liên quan đến công thức biểu diễn tổng các hàm phần nguyên. Trong bài báo đó, tác giả giới thiệu phương pháp tạo ra bất đẳng thức, một vài đồng nhất thức với tổng nâng lên lũy thừa hàm sàn, hàm trần và hàm tròn, đồng thời áp dụng phương pháp này vào dãy các số nguyên không âm, biến chúng được trở thành dãy có chu kỳ.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bất đẳng thức và đồng nhất thức về tổng các hàm phần nguyên ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ VĂN TRƯỜNGBẤT ĐẲNG THỨC VÀ ĐỒNG NHẤTTHỨC VỀ TỔNG CÁC HÀM PHẦN NGUYÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ VĂN TRƯỜNGBẤT ĐẲNG THỨC VÀ ĐỒNGNHẤT THỨC VỀ TỔNG CÁC HÀM PHẦN NGUYÊN Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. HÀ HUY KHOÁI Thái Nguyên, năm 2015Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 HÀM PHẦN NGUYÊN VÀ MỘT SỐ HÀM LIÊN QUAN 5 1.1 Khái niệm về phần nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Tính chất của phần nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Hàm trần, Hàm sàn, Hàm tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 BIỂU DIỄN MỘT SỐ HÀM QUA HÀM PHẦN NGUYÊN 10 2.1 Kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Các hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 ỨNG DỤNG HÀM PHẦN NGUYÊN VÀO VIỆC NGHIÊN CỨU CÁC DÃY SỐ NGUYÊN DƯƠNG 17 3.1 Tổng lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2 Lũy thừa các số nguyên dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3 Số Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.4 Quan sát và giả thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1Lời cảm ơn Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đạihọc Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của GS. TSKH. Hà Huy Khoái.Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướngdẫn khoa học của mình, GS. TSKH. Hà Huy Khoái, người đã đưa ra đề tài vàtận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu của tác giả. Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán- Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, đã tạo mọi điều kiệncho tác giả về tài liệu và thủ tục hành chính để tác giả hoàn thành bản luậnvăn này. Tác giả cũng gửi lời cảm ơn đến gia đình và các bạn trong lớp Cao học ToánLớp Q khóa 2013-2015, đã động viên, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tậpvà làm luận văn. Thái Nguyên, tháng 5 năm 2015 Tác giả Lê Văn Trường Học viên Cao học Toán Lớp Q khóa 6/2013-6/2015, Trường ĐH Khoa học-ĐH Thái Nguyên 2CÁC KÝ HIỆU Trong cuốn luận văn này chúng tôi sử dụng các ký hiệu sau:R: Tập các số thực.Q: Tập các số hữu tỷ.Z: Tập các số nguyên.N: Tập các số tự nhiên.[x]: Số làm tròn của x.⌈x⌉: Trần của x.⌊x⌋: Sàn của của x. 3Mở đầu Luận văn nhằm trình bày một số kết quả nghiên cứu gần đây (xem MirceaMerca, Inequalities and Identities Involving Sums of Integer Functions, Journalof Integer Sequences, Vol. 14 (2011)) về một bài toán cổ điển liên quan đếncông thức biểu diễn tổng các hàm phần nguyên. Trong bài báo đó, tác giả giớithiệu phương pháp tạo ra bất đẳng thức, một vài đồng nhất thức với tổng nânglên lũy thừa hàm sàn, hàm trần và hàm tròn, đồng thời áp dụng phương phápnày vào dãy các số nguyên không âm, biến chúng được trở thành dãy có chu kỳ. Dù đã rất nghiêm túc và cố gắng thực hiện luận văn này, nhưng với trìnhđộ hạn chế cùng nhiều lý do khác, luận văn chắc chắn không tránh khỏi nhữngkhiếm khuyết nhất định. Kính mong sự góp ý của các Thầy Cô để luận vănnày được hoàn chỉnh và có nhiều ý nghĩa hơn. Bố cục của luận văn như sau: Chương 1: Hàm phần nguyên và một số hàm liên quan Chương 2: Biểu diễn hàm qua một số hàm phần nguyên Chương 3: Ứng dụng nghiên cứu các dãy số nguyên dương 4Chương 1HÀM PHẦN NGUYÊN VÀ MỘTSỐ HÀM LIÊN QUAN1.1. Khái niệm về phần nguyên Định nghĩa 1.1 : Cho số thực x ∈ R. Số nguyên lớn nhất không vượt quáx được gọi là phần nguyên của x. Nhiều tài liệu còn gọi phần nguyên của x làsàn và kí hiệu phần nguyên của x là ⌊x⌋. Định nghĩa 1.2 : Cho một số thực x ∈ R. Số nguyên bé nhất không nhỏhơn x được gọi là trần của x và kí hiệu là ⌈x⌉.Từ định nghĩa 1.1 và định nghĩa 1.2 ta suy ra: ⎧ ⎪ ⎧ ⎪ ⎪ y ≤x Ta biết rằng, với mỗi x ∈ R thì tồn tại số nguyên z ∈ Z sao cho z ≤ x < z + 1. Định nghĩa 1.4 : Số nguyên gần nhất với số thực x được kí hiệu là x]và [x] được gọi là số làm tròn của x.Khái niệm làm tròn số được sử dụng rộng rãi trong máy tính ngày nay. Để xácđịnh, nếu có hai số nguyên cùng gần x nhất (nghĩa là khi x = z+0, 5 = (z+1)−0, 5thì z và z+1 cùng có khoảng cách tới x bằng 0,5 (x−z = z+1−x = 0, 5) thì ta quyước chọn số lớn, tức là nếu z ≤ x < z + 0, 5 thì (x) = z, còn nếu z + 0, 5 ≤ x ≤ z + 1thì [x] = z + 1.1.2. Tính chất của phần nguyên Từ các Định nghĩa 1.1 - Định nghĩa 1.4 ta đi đến các tí ...