Luận văn Thạc sĩ Toán học: Đẳng thức, bất đẳng thức tích phân trong lớp đa thức và phân thức hữu tỷ và một số dạng toán liên quan

Mục đích nghiên cứu của đề tài là khảo sát một số dạng toán về đẳng thức và bất đẳng thức chứa tích phân trong lớp đa thức và phân thức hữu tỷ và xét một số áp dụng trong các bài toán cực trị, khảo sát phương trình, bất phương trình đa thức và phân thức liên quan. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Đẳng thức, bất đẳng thức tích phân trong lớp đa thức và phân thức hữu tỷ và một số dạng toán liên quan ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI TRỌNG QUYẾT ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨCTÍCH PHÂN TRONG LỚP ĐA THỨCVÀ PHÂN THỨC HỮU TỶ VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI TRỌNG QUYẾT ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨCTÍCH PHÂN TRONG LỚP ĐA THỨCVÀ PHÂN THỨC HỮU TỶ VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu THÁI NGUYÊN - 2017 iMục lụcMỞ ĐẦU 1Chương 1. Đẳng thức và bất đẳng thức tích phân cơ bản 2 1.1 Các đồng nhất thức tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1 Tính chất cơ bản của nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2 Một số tính chất của tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3 Tích phân đối với hàm chẵn và lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.4 Tích phân đối với hàm tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.5 Tích phân một số dạng với đặc trưng hàm đặc biệt . . . . . . . . 11 1.2 Một số bất đẳng thức tích phân và phương pháp bất đẳng thức trong tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.1 Một số bất đẳng thức tích phân cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.2 Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.3 Sử dụng đánh giá hàm dưới dấu tích phân . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.4 Phương pháp phân đoạn miền lấy tích phân . . . . . . . . . . . . 17 1.2.5 Bất đẳng thức Bunhiakovski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Chương 2. Đẳng thức và bất đẳng thức tích phân trong đa thức 23 2.1 Một số đẳng thức tích phân giữa các đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Bất đẳng thức tích phân giữa các đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3 Phương pháp tích phân trong chứng minh bất đẳng thức . . . . . . . . . 33Chương 3. Đẳng thức và bất đẳng thức tích phân trong lớp phân thức 38 3.1 Nguyên hàm và tích phân các hàm phân thức hữu tỷ . . . . . . . . . . . 38 3.2 Hữu tỷ hóa tích phân một số hàm số vô tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3 Hữu tỷ hóa tích phân một số hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.4 Bất đẳng thức tích phân giữa các phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . 51Chương 4. Một số dạng toán liên quan 58 4.1 Phương pháp tích phân trong các bài toán cực trị . . . . . . . . . . . . . 58 4.1.1 Cực trị của một số biểu thức chứa tích phân . . . . . . . . . . . . 58 ii 4.1.2 Phương pháp tích phân trong bài toán cực trị . . . . . . . . . . . 60 4.2 Khảo sát phương trình và bất phương trình đa thức . . . . . . . . . . . . 69 4.2.1 Chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình . . . . . . . . . . 69 4.2.2 Giải phương trình sinh bởi một số dạng nguyên hàm . . . . . . . 71KẾT LUẬN 76TÀI LIỆU THAM KHẢO 77 1Mở đầu Chuyên đề tích phân có vị trí rất đặc biệt trong toán học, nó không những là đốitượng nghiên cứu trọng tâm của giải tích mà còn là công cụ đắc lực trong lý thuyết hàmsố và các ứng dụng liên quan. Ngoài ra, bản thân phép tính tích phân còn được sử dụngnhiều trong vật lý, thiên văn học, cơ học, y học,. . . như một giải pháp hữu hiệu của cácmô hình toán học cụ thể. Trong các kỳ thi học sinh giỏi Toán quốc gia, Olympic Toán sinh viên thì các bàitoán liên quan đến tích phân cũng hay được đề cập và được xem như là những dạngtoán loại khó. Lý thuyết và các bài toán về tích phân đã được đề cập ở hầu hết các giáo trình cơbản về giải tích. Tuy nhiên, các tài liệu hệ thống về phép tính tích phân cho lớp hàmđa th ...