Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số phương pháp nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ tăng

Mục đích của luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số phương pháp nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ tăng là nhằm trình bày bốn phương pháp nghiên cứu điểm bất động của ánh xạ tăng. Với các bạn chuyên ngành Toán học thì đây là tài liệu hữu ích.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số phương pháp nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ tăng BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Thu HàMỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ TĂNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2009 LỜI CẢM ƠN PGS. TS. Nguyễn Bích Huy đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trìnhthực hiện luận văn này. Quí thầy cô của trường đã nhiệt tình giảng dạy trong quá trình em họctập tại trường và đã tạo điều kiện cho em hoàn thành luận văn này. Tp. HCM, tháng 10 năm 2009 Học viên Nguyễn Thị Thu Hà MỞ ĐẦU1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự được hình thành từ nhữngnăm 1940, tiếp tục được phát triển và hoàn thiện cho đến ngày nay. Lý thuyết nàytìm được những ứng dụng đa dạng trong việc chứng minh sự tồn tại và nghiên cứutính chất của nghiệm của các phương trình vi phân, tích phân phát sinh trong Toánhọc, Vật lí, Sinh học, … cũng như trong nghiên cứu các mô hình phát triển xuấtphát từ kinh tế học, … Trong lí thuyết phương trình trong không gian có thứ tự thì lớp phương trìnhvới toán tử tăng đóng vai trò quan trọng. Các kết quả về toán tử dạng này cho phépnghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và xấp xỉ nghiệm của các phương trình chứa cáctoán tử không liên tục vốn xuất hiện tự nhiên từ các bài toán thực tế. Đã có nhiềuđịnh lí về điểm bất động của ánh xạ tăng, được chứng minh bằng các phương phápkhác nhau trong các bài báo của Krasnoselskii, Bakhtin, Carl, Heikkila, NguyễnBích Huy, … Để có thể tìm ra các định lí dạng mới về điểm bất động của ánh xạtăng hoặc để nghiên cứu các lớp ánh xạ gần với ánh xạ tăng thì cần có sự nhìn lại,phân tích các phương pháp đã được áp dụng để nghiên cứu ánh xạ tăng.2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận văn là trình bày bốn phương pháp nghiên cứu điểm bấtđộng của ánh xạ tăng mà chúng tôi tìm hiểu được qua các bài báo khoa học.3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là điểm bất động của ánh xạ tăng. Phạm vi nghiên cứu: luận văn trình bày bốn phương pháp nghiên cứu điểmbất động của ánh xạ tăng. Đó là: phương pháp áp dụng nguyên lí đệ qui mở rộng;phương pháp áp dụng dãy qui nạp siêu hạn; phương pháp áp dụng nguyên líEntropy; phương pháp sử dụng mêtric đặc biệt và ánh xạ co.4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu Lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự được ứng dụng trong việcchứng minh sự tồn tại và nghiên cứu tính chất của nghiệm của các phương trình viphân, tích phân phát sinh trong Toán học, Vật lí, Sinh học, … cũng như trongnghiên cứu các mô hình phát triển xuất phát từ kinh tế học, …5. Cấu trúc luận văn Luận văn gồm có bốn chương. Chương 1: trình bày nguyên lí đệ qui mở rộng, ứng dụng của nó trong việctìm điểm bất động của ánh xạ tăng. Chương 2: tìm hiểu ứng dụng của số siêu hạn vào bài toán điểm bất độngcủa ánh xạ tăng. Chương 3: trình bày nguyên lí Entropy và ứng dụng của nó vào bài toánđiểm bất động. Chương 4: ứng dụng của ánh xạ co suy rộng trong bài toán điểm bất động;khảo sát sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ có tính chất lõm. Vì khả năng và thời gian có hạn nên bản luận văn này chắc có thể thiếu sót,em rất mong nhận được sự góp ý của quí thầy cô và độc giả.Chương 1. PHƯƠNG PHÁP ÁP DỤNG NGUYÊN LÍ ĐỆ QUI MỞ RỘNG1.1. Nguyên lí đệ qui mở rộngĐịnh nghĩa 1.1.1Cho tập P   , khi đó  P ,   được gọi là tập sắp thứ tự một phần nếu trên P cóquan hệ thứ tự  thỏa: i. Phản xạ: x  x x  P . ii. Đối xứng: Nếu x  y và y  x thì x  y x, y  P . iii. Bắc cầu: Nếu x  y và y  z thì x  z x, y , z  P .Ta kí hiệu x  y nếu x  y và x  y .Ví dụ.  , ,  ,   ,  ,   là các tập được sắp thứ tự.Định nghĩa 1.1.2Tập hợp P có thứ tự gọi là sắp thứ tự tốt nếu mọi tập con khác rỗng của nó đều cóphần tử đầu tiên. Với C  P, x  P , ta kí hiệu C x   y  C y  x .Mệnh đề 1.1.1 (Nguyên lí đệ qui)Cho D là tập hợp các tập con của tập sắp thứ tự  P,   ,   D và ánh xạF : D  P.Khi đó, tồn tại duy nhất tập sắp tốt C của P sao cho: 1) x  C  x  F  C x  . (*) 2) Nếu C  D thì F  C  không phải là cận trên chặt của C . (**)Chứng minh.Đặt x0  F     P . Gọi M là tập tất cả các xích sắp tốt C của P có tính chất:  x  C thì x  F C x .Ta có M   vì C   x0   M . Ta sẽ chứng minh  C  M . C MBổ đề 1.1.1Nếu ...