Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ cyclic hầu co kiểu geraghty suy rộng trong không gian B-mêtric

Bài viết thiết lập một vài kết quả về sự tồn tại và duy nhất điểm bất động của ánh xạ cyclic hầu co kiểu Geraghty suy rộng trong không gian b-mêtric đầy đủ.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ cyclic hầu co kiểu geraghty suy rộng trong không gian B-mêtric Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 49 - Số 1A/2020, tr. 21-33 VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ CYCLIC HẦU CO KIỂU GERAGHTY SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN b-MÊTRIC Đinh Huy Hoàng (1) , Trần Thị Ngọc Thảo (2) 1 Trường Đại học Vinh, Nghệ An 2 Trường THPT Hàm Thuận Bắc, Bình Thuận Ngày nhận bài 6/12/2019, ngày nhận đăng 16/02/2020 Tóm tắt: Trong bài báo này, chúng tôi thiết lập một vài kết quả về sự tồn tại và duy nhất điểm bất động của ánh xạ cyclic hầu co kiểu Geraghty suy rộng trong không gian b-mêtric đầy đủ. Kết quả của chúng tôi là mở rộng thực sự của một vài kết quả trong các tài liệu [2], [4], [6], [7]. Từ khóa: Điểm bất động; không gian b-mêtric; co cyclic; ánh sáng cyclic hầu co kiểu Geraghty. 1 Mở đầu Nguyên lý ánh xạ co Banach trong không gian mêtric đầy đủ là một trong những kết quả quan trọng đầu tiên của lý thuyết điểm bất động. Nhiều nhà toán học đã mở rộng Nguyên lý này cho nhiều lớp không gian và nhiều loại ánh xạ khác nhau. Chúng ta để ý rằng, các ánh xạ co kiểu Banach là liên tục. Để mở rộng Nguyên lý ánh xạ co Banach cho lớp các ánh xạ không liên tục, năm 2003, Kirk và các cộng sự [5] đã đưa ra khái niệm ánh xạ cyclic và nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của lớp ánh xạ này trong không gian mêtric. Sau đó, vấn đề về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic thỏa mãn điều kiện co nào đó đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu (xem [2], [6], [7]). Vào năm 2018, Babu và các cộng sự [2] đã chứng minh sự tồn tại duy nhất điểm bất động của các ánh xạ cyclic hầu co Geraghty. Để mở rộng lớp không gian mêtric, năm 1993, Czerwik [3] đã đưa ra khái niệm không gian b-mêtric và một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động trong không gian này. Một vấn đề được đặt ra ở đây là kết quả của Babu [2] có thể mở rộng cho không gian b-mêtric được hay không? Trong bài báo này, chúng tôi đưa ra khái niệm ánh xạ cyclic hầu co kiểu Geraghty suy rộng và chứng minh sự tồn tại duy nhất điểm bất động của nó trong không gian b-mêtric đầy đủ. Kết quả của chúng tôi là sự mở rộng kết quả của Babu [2] cho không gian b-mêtric. Hơn nữa, nếu chỉ xét trong không gian mêtric thì kết quả của chúng tôi cũng là mở rộng thực sự của Định lý 2.3 trong [2]. Đầu tiên, chúng ta trình bày một số khái niệm và kết quả cơ sở. Ký hiệu S = {g : [0; +∞) −→ [0; 1) | với mọi dãy bị chặn {tn } ⊂ [0; +∞) mà g (tn ) → 1 thì tn → 0}. Năm 1973, Geraghty đã chứng minh định lý sau. 1) Email: thaonguyenthpt@gmail.com (T. T. N. Thảo) 21 Đ. H. Hoàng, T. T. N. Thảo / Về sự tồn tại của điềm bất động ánh xạ cyclic hầu co... Định lí 1.1. ([4]) Giả sử X là không gian mêtric đầy đủ và f : X −→ X là ánh xạ sao cho tồn tại g ∈ S thỏa mãn: d (f x, f y) ≤ g (d (x, y)) d (x, y) , ∀x, y ∈ X. Khi đó, f có duy nhất điểm bất động z trong X và với mọi x0 trong X thì {f n x0 } hội tụ tới z, trong đó: f 1 x0 = f x0 , f 2 x0 = f f x0 , . . . , f n x0 = f f n−1 x0 , . . . . Định nghĩa 1.2. ([5]) Giả sử A1 , . . . , Ap là các tập con khác rỗng của không gian mêtric p S p S (X, d) và F : Ai −→ Ai . Ánh xạ F được gọi là p-cyclic (nói gọn là cyclic) nếu i=1 i=1 F (Ai ) ⊂ Ai+1 với mọi i = 1, 2, . . . , p, trong đó Ap+1 = A1 . Định lí 1.3. ([5]) Giả sử A1 , . . . , Ap là các tập con đóng khác rỗng của không gian mêtric p S Sp đầy đủ (X, d) và F : Ai −→ Ai là ánh xạ cyclic. Khi đó, nếu tồn tai g ∈ S sao cho i=1 i=1 d (f x, f y) ≤ g (d (x, y)) d (x; y) , ∀x ∈ Ai , y ∈ Ai+1 , i = 1, 2, . . . , p thì F có duy nhất điểm bất động. Định nghĩa 1.4. ([2]) Giả sử X1 , . . . , Xp là các tập con đóng khác rỗng của không gian p S p S mêtric (X, d) và F : Xi −→ Xi . Ánh xạ F được gọi là cyclic hầu co Geraghty nếu F i=1 i=1 là ánh xạ cyclic và tồn tại g ∈ S và L ≥ 0 sao cho d (F x, F y) ≤ g (d (x, y)) d (x; y) + L min{d (x, F x) , d (y, F x)}, với mọi x ∈ Ai , y ∈ Ai+1 , i = 1, 2, . . . , p. Định nghĩa 1.5. ([5]) Giả sử X là tập hợp con khác rỗng và số thực s ≥ 1. Hàm d : X × X −→ [0; +∞) được gọi là b-mêtric nếu với mọi x, y, z ∈ X ta có 1) d (x, y) = 0 ⇔ x = y; 2) d (x, y) = d (y, x); 3) d (x, y) ≤ s [d (x, z) + d (z, y)] (bất đẳng thức tam giác). Tập X cùng với một b-mêtric trê ...