Điểm bất động chung của các ánh xạ co nhờ hàm C lớp với tính chất (E.A) trong không gian b-mêtric

Bài viết chứng minh định lý điểm bất động chung của các ánh xạ co nhờ các hàm C-lớp với tính chất (E.A) trong không gian b-mêtric và cho ví dụ minh họa. Từ đó, Bài viết chỉ ra rằng các kết quả chính của Ozturk, Radenovic (Some remarks on b-(E.A)-property in b-metric spaces, Springer Plus, 5: 544 (2016)) và Ozturk, Turkoglu (Common fixed point for mappings satisfying (E.A)-property in b-metric spaces, J. Nonlinear Sci. Appl., 8 (2015), 1127 - 1133) là hệ quả của nó.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Điểm bất động chung của các ánh xạ co nhờ hàm C lớp với tính chất (E.A) trong không gian b-mêtricTrường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 47, Số 3A (2018), tr. 5-16ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC ÁNH XẠ CO NHỜ HÀM C-LỚP VỚI TÍNH CHẤT (E.A) TRONG KHÔNG GIAN b-MÊTRIC Trần Văn Ân(1) , Lê Đức Anh(2) 1 Viện Sư phạm Tự nhiên, Trường Đại học Vinh 2 Trường Đại học Tây Nguyên Ngày nhận bài 09/10/2018, ngày nhận đăng 05/11/2018 Tóm tắt. Trong bài báo này, chúng tôi chứng minh định lý điểm bất động chung của các ánh xạ co nhờ các hàm C-lớp với tính chất (E.A) trong không gian b- mêtric và cho ví dụ minh họa. Từ đó, chúng tôi cũng chỉ ra rằng các kết quả chính của Ozturk, Radenovic (Some remarks on b-(E.A)-property in b-metric spaces, Springer Plus, 5: 544 (2016)) và Ozturk, Turkoglu (Common fixed point for mappings satisfying (E.A)-property in b-metric spaces, J. Nonlinear Sci. Appl., 8 (2015), 1127 - 1133) là hệ quả của nó.1 MỞ ĐẦU Lý thuyết điểm bất động là một trong những chủ đề nghiên cứu quan trọng của Giảitích toán học. Đây cũng là một trong những công cụ quan trọng để nghiên cứu các hiệntượng phi tuyến. Nó có nhiều ứng dụng trong toán học cũng như trong các ngành khoa họckỹ thuật, trong tối ưu, lý thuyết xấp xỉ, các mô hình toán học và lý thuyết kinh tế. Nguyênlý ánh xạ co Banach đã trở thành một công cụ phổ dụng để chứng minh sự tồn tại duynhất nghiệm của các phương trình vi phân và phương trình tích phân, cũng như giải quyếtcác bài toán về sự tồn tại trong nhiều ngành của Giải tích toán học và được ứng dụng vàocác ngành khoa học khác. Vì thế đã có một số lớn các mở rộng của định lý cơ bản này chocác lớp ánh xạ và không gian khác nhau, bằng cách điều chỉnh điều kiện co cơ bản hoặcthay đổi không gian. Năm 1993, để mở rộng các không gian mêtric, Czerwik đã đưa ra khái niệm không gianb-mêtric và chứng minh một vài kết quả mới về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ cotrong không gian b-mêtric. Năm 2002, Aamri và Moutawakil [1] đã đưa ra ý tưởng về tínhchất (E.A) trong không gian mêtric. Gần đây, một số nhà nghiên cứu đã vận dụng ý tưởngnày để thu được một số kết quả mới về điểm bất động của các ánh xạ co suy rộng với tínhchất (E.A) trong không gian b-mêtric. Năm 2017, Ozturk và Ansari đã phát biểu và chứng minh kết quả về điểm bất độngchung của các ánh xạ co nhờ các hàm C-lớp với tính chất (E.A) trong không gian b-mêtrictrong ([6]). Tuy nhiên, Ozturk và Ansari đã nhầm lẫn trong chứng minh kết quả này khithừa nhận rằng b-mêtric d là hàm liên tục theo từng biến. Song điều này là không hoàn 1) Email: tvandhv@gmail.com (T. V. Ân). 5Trần Văn Ân, Lê Đức Anh Điểm bất động chung của các ánh xạ co nhờ hàm C-lớp ...toàn đúng và nó đã được Trần Văn Ân, Nguyễn Văn Dũng và Lương Quốc Tuyển chỉ rathông qua Ví dụ 3.9 và Ví dụ 3.10 trong [2]. Trong quá trình tìm cách khắc phục lỗi trên trong lập luận chứng minh của Ozturk vàAnsari, chúng tôi giới thiệu và chứng minh một định lý điểm bất động chung cho các ánhxạ co nhờ các hàm C-lớp với tính chất (E.A) trong không gian b-mêtric. Từ đó, chỉ ra rằngcác kết quả của chúng tôi là mở rộng các kết quả đã có trong [7] và [8]. Trước hết chúng tôi giới thiệu một số khái niệm và kết quả cần thiết cho các trình bàyvề sau.Định nghĩa 1.1. ([4]) Cho X là một tập khác rỗng và số thực s ≥ 1. Hàm d : X × X →[0, +∞) được gọi là một b-mêtric, nếu với mọi x, y, z ∈ X, các điều kiện sau đây được thỏamãn (1) d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y; (2) d(x, y) = d(y, x); (3) d(x, y) ≤ s[d(x, z) + d(z, y)]. Khi đó, (X, d) được gọi là không gian b-mêtric với hệ số s.Định nghĩa 1.2. ([4]) Cho {xn } là một dãy trong không gian b-mêtric (X, d). (1) Dãy {xn } được gọi là hội tụ nếu với x ∈ X nào đó ta có d(xn , x) → 0 khi n → ∞; (2) Dãy {xn } được gọi là Cauchy nếu d(xn , xm ) → 0 khi n, m → ∞; (3) Không gian b-mêtric (X, d) là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều là hội tụ. Nhận xét rằng: dãy {xn } là Cauchy nếu lim d(xn , xn+p ) = 0, với mọi p > 0. n→∞Định lý 1.3. ([4]) Trong không gian b-mêtric (X, d), các khẳng định sau là đúng (1) Dãy hội tụ có giới hạn duy nhất; (2) Mỗi dãy hội tụ là dãy Cauchy; (3) Nói chung, một b-mêtric thì không liên tục.Định nghĩa 1.4. ([4]) Cho (X, d) là không gian b-mêtric. Tập con Y ⊂ X được gọi là đóngnếu với mỗi dãy {xn } trong Y mà nó là hội tụ đến phần tử x, thì x ∈ Y .Định nghĩa 1.5. ([8]) Cho (X, d) là không gian b-mêtric, f, g : X → X là các ánh xạ từX vào chính nó. (1) f và g được gọi là tương thích với nhau nếu với bất kì dãy {xn } ⊂ ...