Một số ứng dụng của nguyên lý ánh xạ co trong không gian metric

Bài viết trình bày ứng dụng của nguyên lý ánh xạ co trong không gian metric giải một lớp các bài toán tìm điều kiện cho số hạng đầu đối với dãy truy hồi để dãy số đã cho hội tụ. Ngoài ra, nhóm tác giả nghiên cứu và đánh giá sai số giữa dãy lặp dạng u n+1 = f(un) với giới hạn của nó.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một số ứng dụng của nguyên lý ánh xạ co trong không gian metric TẠP CHÍ KHOA HỌC Khoa học Tự nhiên và Công nghệ, Số 10 (9/2017) tr 14 - 21 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO TRONG KHÔNG GIAN METRIC Hoàng Tùng Lâm, Hoàng Việt Anh, Nguyễn Bích Ngọc, Đinh Thị Thu Uyên2 Trường Đại học Tây Bắc Tóm tắt: Bài báo này trình bày ứng dụng của nguyên lý ánh xạ co trong không gian metric giải một lớp các bài toán tìm điều kiện cho số hạng đầu đối với dãy truy hồi để dãy số đã cho hội tụ. Ngoài ra, nhóm tác giả nghiên cứu và đánh giá sai số giữa dãy lặp dạng un 1  f (un ) với giới hạn của nó. Từ khóa: Ánh xạ co, dãy lặp, điểm bất động, không gian metric, sai số, xấp xỉ. 1. Mở đầu Lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng trong toán học cũng như trong các ngành khoa học khác. Điển hình như trong việc chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của trình vi phân, tích phân,... Mặt khác, trong nhiều vấn đề của giải tích, việc nghiên cứu sự hội tụ của dãy số nói chung là một trong những vấn đề đáng quan tâm, đặc biệt là câu hỏi về sự tồn tại giới hạn của một dãy được cho bởi công thức truy hồi. Như đã biết, việc nghiên cứu sự hội tụ của dãy truy hồi có nhiều phương pháp khác nhau. Bài báo này tập trung vào nghiên cứu sự tồn tại giới hạn của dãy số cho bởi công thức truy hồi dựa vào nguyên lý ánh xạ co trong không gian metric đầy. Một tính chất hữu ích đó là đối với một ánh xạ co trong không gian metric đầy, có thể tìm được (thông qua giới hạn của dãy lặp) điểm bất động của ánh xạ đã cho. Ngoài ra, nhiều trường hợp gặp khó khăn trong việc tìm giới hạn của dãy số (mặc dù ta biết dãy đã hội tụ), điều này đặt ra vấn đề nghiên cứu tốc độ hội tụ cũng như sai số đối với điểm bất động của dãy lặp đã cho. Phần cuối của bài báo, đền cập đến việc nghiên cứu vấn đề nói trên. 2. Định lý Banach về điểm bất động trong không gian metric Một số khái niệm cần thiết và Định lý Banach về ánh xạ co trong không gian metric ([1], [2]). Định nghĩa 2.1. Cho f là ánh xạ từ không gian metric (X, d) vào chính nó. Khi đó ta gọi: (i) f là ánh xạ co trên X nếu tồn tại số k   0,1 sao cho:  x, y  X , d  f  x  , f  y    kd  x, y  , hằng số k nói trên được gọi là hệ số co. (ii) f là ánh xạ không giãn trên X nếu: 2 Ngày nhận bài: 7/2/2017. Ngày nhận kết quả phản biện: 8/5/2017. Ngày nhận đăng: 20/9/2017 Liên lạc: Hoàng Việt Anh, e - mail: hoangvietanh2000@gmail.com 14  x, y  X , d  f  x  , f  y    d  x, y  (iii) f là ánh xạ co yếu trên X nếu  x, y  X , x  y, d  f  x  , f  y    d  x, y  (iv) x0  X là điểm bất động của ánh xạ f nếu f  x0   x0 . Từ đó đưa ra định lý của Stefan Banach về điểm bất động trong không gian metric. Định lý 2.2. (Banach) Mọi ánh xạ co từ một không gian metric đầy X vào chính nó có duy nhất một điểm bất động. Hơn nữa, với mọi x0  X dãy lặp  f  x  n 0 n hội tụ tới điểm bất động duy nhất của f. Chứng minh. Tham khảo [1]. Nhận xét 2.3. (i) Từ Định lý 2.2, bài toán ngược được đưa ra như sau. Giả sử đã biết điểm bất động x * của f. Hãy tìm một dãy xấp xỉ cho x * , từ đó đánh giá sai số của dãy xấp xỉ đã xây dựng so với x * . (ii) Tiếp tục theo Định lý 2.2, với mọi x0  X , dãy lặp  f n  x0  n hội tụ tới điểm bất động duy nhất x*  X của f . Đánh giá tốc độ hội tụ về x * của dãy lặp nói trên. Thêm nữa, với sai số cho trước, hãy ước lượng n bé nhất có thể hay không? (iii) Trường hợp f là ánh xạ co yếu, có thể thấy Định lý 2.2 không đúng, xét ánh xạ: f : 1,    1,   x f  x  x  1 x Rõ ràng X  1,   là không gian đầy và: d  f  x  , f  y   | f  x   f  y  || x  | x  y ||1  1 1 y | x y 1 | xy | x  y | d  x, y  , x, y  X , x  y. Tuy nhiên f  x   x, x  X , chứng tỏ f không có điểm bất động trên X . Như vậy nếu f là ánh xạ co yếu trên không gian metric (thậm chí là đầy) X nói chung thì f có thể không tồn tại điểm bất động trong X. Tuy nhiên, khi X là không gian metric compact thì mọi ánh xạ co yếu trong X đều có điểm bất động duy nhất (Định lý 1.2 trong [3]). Ngoài ra, trong các bài toán được trình bày dưới đây, chỉ xét minh họa không gian với metric thông thường. Đồng thời như đã biết, mỗi tập con đóng và bị chặn X  đều là không gian metric compact với metric cảm sinh bởi metric thông thường trên . 15 (iv) Trong Định lý 2.2, ánh xạ f được giả thiết là ánh xạ co. Tuy nhiên, có thể thấy (ví dụ Hệ quả 1.5 trong [4]) nếu f m  f f  f (với m lần tích hợp thành) là ánh xạ co trên không gian metric đầy X, với m  1 nào đó thì f cũng có điểm bất động duy nhất x *. Hơn nữa, với mọi a  X thì f n  a  hội tụ về x *. Như vậy giả thiết f là ánh xạ co chỉ là điều kiện đủ để f có điểm bất động. 3. Ứng dụng nguyên lý ánh xạ co xây dựng một số dãy xấp xỉ 3.1. Tìm điều kiện để dãy số có giới hạn Xét bài toán (thuộc đề thi Olympic sinh viên toàn quốc năm 2016 môn Giải tích) sau đây (xem [6]): Bài toán 1. Cho {un }n * là dãy số xác định bởi các điều kiện u1  a, un1  un   un  2016  ,  n  ...