Một vài ứng dụng của nguyên lý điểm bất động trong dãy số

Lý thuyết điểm bất động và ứng dụng là lĩnh vực nghiên cứu hấp dẫn của toán học hiện đại. Đây là lĩnh vực đã và đang thu hút được sự quan tâm của rất nhiều nhà toán học trong và ngoài nước. Bài viết trình bày ứng dụng của nguyên lý điểm bất động trong việc tìm giới hạn của dãy số. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một vài ứng dụng của nguyên lý điểm bất động trong dãy số Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018 MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA NGUYÊN LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG DÃY SỐ Dương Trọng Luyện Khoa Tự nhiên, Trường Đại học Hoa Lư Tóm tắt nội dung Lý thuyết điểm bất động và ứng dụng là lĩnh vực nghiên cứu hấp dẫn của toán học hiện đại. Đây là lĩnh vực đã và đang thu hút được sự quan tâm của rất nhiều nhà toán học trong và ngoài nước. Lý thuyết điểm bất động là một công cụ quan trọng để nghiên cứu các hiện tượng phi tuyến. Nó có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học như sự tồn tại nghiệm của các phương trình vi, tích phân, hệ phương trình tuyến tính, phương trình hàm, quỹ đạo đóng của hệ động lực... Hơn nữa, nó còn có nhiều ứng dụng trong các ngành khoa học khác như khoa học máy tính, lý thuyết điều khiển, lý thuyết trò chơi, vật lý toán, sinh học, kinh tế... Sự phát triển mạnh mẽ của lý thuyết điểm bất động có thể nói bắt nguồn từ những ứng dụng rộng rãi của nó. Hơn nữa việc ứng dụng điểm bất động trong giải toán sơ cấp cũng là vấn đề được nhiều người quan tâm, đặc biệt là việc tìm giới hạn của dãy số, phương trình hàm, .... Như ta đã biết dãy số đặc biệt quan trọng trong Toán học không chỉ là đối tượng để nghiên cứu mà con đóng vai trò như là một công cụ đắc lực của các mô hình toán rời rạc của giải tích trong lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn, .... Trong nhiều kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic toán Quốc tế, thi vô địch toán các nước, các bài toán liên quan đến dãy số cũng hay được đề cập và thường thuộc loại khó. Trong bài viết này tôi xin trình bày ứng dụng của nguyên lý điểm bất động trong việc tìm giới hạn của dãy số. 1 Nguyên lý điểm bất động Thông thường khi một ánh xạ tác động vào một phần tử sẽ sinh ra giá trị hàm khác với đối số. Nếu lặp ánh xạ ấy một cách đệ qui, nghĩa là lấy giá trị hàm làm đối số cho lần lặp tiếp theo thì chúng ta thấy một cách trực quan rằng ánh xạ nhảy theo các giá trị mới. Nếu có một phần tử mà được ánh xạ tới chính nó sẽ làm ánh xạ không di chuyển được. Phần tử đó được gọi là điểm bất động của ánh xạ. Định nghĩa 1. Điểm x ∗ là một điểm bất động của hàm f ( x ) nếu và chỉ nếu f ( x ∗ ) = x ∗ . 134 Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018 Chúng ta phân biệt điểm bất động với điểm cố định. Điểm cố định là điểm mà tại đó hàm số không biến thiên, tức là f 0 ( x ) = 0. Còn điểm bất động cho thấy tại đó dù lặp ánh xạ bao nhiêu lần đi nữa thì giá trị của hàm số tại điểm đó vẫn không thay đổi, tức là f ( f (. . . f ( x ∗ ))) = x ∗ . Định nghĩa 2 (Ánh xạ co). Cho D ⊂ R. Ánh xạ f : D → D được gọi là một ánh xạ co trên D nếu và chỉ nếu tồn tại λ ∈ [0, 1) sao cho với mọi x, y ∈ D ta có | f ( x ) − f (y)| ≤ λ | x − y| , λ được gọi là hằng Lipschitz. Định lý 1 (Nguyên lý điểm bất động). Cho k là số tự nhiên, tập D ≡ R hoặc D = k [ ai−1 , ai ], [ ai−1 , ai ] ⊂ R, với ánh xạ co f : D → D. Khi đó f có một điểm bất động duy S i =1 nhất x ∗ ∈ D thỏa mãn với mọi x0 ∈ D lim f n ( x0 ) = x ∗ , n→∞ trong đó f 0 ( x0 ) = x0 , f n ( x0 ) = f ( f n−1 ( x0 )). Chứng minh. Dãy { f n ( x0 )} hội tụ tới x ∗ . Thật vậy, ta có | x − y| ≤ | x − f ( x )| + | f ( x ) − f (y)| + | f (y) − y| . Do | f ( x ) − f (y)| ≤ λ | x − y| nên ta có | x − y| ≤ | x − f ( x )| + λ | x − y| + | f (y) − y| suy ra | f ( x ) − x | + | f (y) − y| | x − y| ≤ . (1.1) 1−λ Thay x ≡ f n ( x0 ), y ≡ f m ( x0 ) vào (1.1) ta có n +1 n ( x ) + f m +1 ( x ) − f m ( x ) f ( x 0 ) − f 0 0 0 | f n ( x0 ) − f m ( x0 )| ≤ . (1.2) 1−λ Vì 2 f ( x0 ) − f 1 ( x0 ) ≤ λ | f ( x0 ) − x0 | , nên bằng phương pháp quy nạp chúng ta có ...