Luận văn Thạc sĩ Toán học: Sự hội tụ của tổng các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc nhận giá trị trong không gian Hilbert

Luận án đã xây dựng khái niệm mới, đó là khái niệm các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm theo tọa độ, các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một theo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert; thiết lập và chứng minh một số tính chất về hàm biến đổi chính quy và hàm biến đổi chậm;... Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Sự hội tụ của tổng các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc nhận giá trị trong không gian Hilbert BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ THANH HIỀN SỰ HỘI TỤ CỦA TỔNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ THANH HIỀN SỰ HỘI TỤ CỦA TỔNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Mã số: 9.46.01.06 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. LÊ VĂN THÀNH NGHỆ AN - 2020 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả viết chung với các tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả trước khi đưa vào luận án. Các kết quả được trình bày trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trước đó. Tác giả Nguyễn Thị Thanh Hiền ii LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Lê Văn Thành. Lời đầu tiên, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc của mình tới PGS.TS. Lê Văn Thành, người đã đặt bài toán, định hướng nghiên cứu, động viên, giúp đỡ tận tình và chu đáo trong suốt quá trình tác giả học tập và thực hiện luận án. Tác giả xin cảm ơn ThS. Vũ Thị Ngọc Ánh và TS. Võ Thị Hồng Vân về những thảo luận và góp ý từ lúc viết bản thảo cho tới khi hoàn thiện luận án. Trong quá trình hoàn thành luận án, tác giả đã nhận được sự quan tâm và góp ý của GS.TS. Nguyễn Văn Quảng, TS. Nguyễn Thị Thế, TS. Nguyễn Trung Hòa, TS. Nguyễn Thanh Diệu, TS. Dương Xuân Giáp, PGS.TS. Phan Đức Thành, PGS.TS. Trần Xuân Sinh cùng các nhà khoa học và các đồng nghiệp trong bộ môn Xác suất thống kê và Toán ứng dụng. Tác giả xin chân thành cảm ơn về những sự giúp đỡ quý báu đó. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới Viện Sư phạm Tự nhiên và Phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Vinh về sự hỗ trợ và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ của một nghiên cứu sinh. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới bạn bè đồng nghiệp, các nghiên cứu sinh, các thành viên trong nhóm seminar do PGS.TS. Lê Văn Thành chủ trì về những góp ý, thảo luận bổ ích. Cuối cùng, tác giả xin gửi tới gia đình, người thân, bạn bè lời biết ơn chân thành và sâu sắc về sự động viên, chia sẻ đã dành cho tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và công tác. Nguyễn Thị Thanh Hiền iii MỤC LỤC Một số ký hiệu thường dùng trong luận án 1 Mở đầu 3 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 10 1.1. Biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm, biến ngẫu nhiên liên kết âm . . 11 1.2. Phần tử ngẫu nhiên liên kết âm, phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm 16 1.3. Hàm biến đổi chậm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Chương 2. Luật số lớn và sự hội tụ đầy đủ của dãy các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một theo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert 31 2.1. Luật mạnh số lớn và sự hội tụ đầy đủ . . . . . . . . . . . . . 32 2.2. Luật yếu số lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Chương 3. Luật số lớn và sự hội tụ đầy đủ của dãy các phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert 56 3.1. Luật mạnh số lớn và sự hội tụ đầy đủ . . . . . . . . . . . . . 57 3.2. Luật yếu số lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Kết luận và kiến nghị 78 Danh mục các công trình liên quan trực tiếp đến luận án 80 Tài liệu tham khảo 81 1 MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN N Tập hợp các số nguyên dương R Tập hợp các số thực (Ω, F, P) Không gian xác suất đầy đủ H Không gian Hilbert thực, khả ly B(H) σ - đại số Borel của H B Tập các chỉ số của hệ cơ sở trực chuẩn của H log x Logarit cơ số 2 của số thực dương x ln x Logarit tự nhiên của số thực dương x a+ max{a, 0}, trong đó a ∈ R a− max{−a, 0}, trong đó a ∈ R EX Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên hoặc phần tử ngẫu nhiên X Var(X) Phương sai của biến ngẫu nhiên X Cov(X, Y ) Covariance của các biến ngẫu nhiên X và Y I(A) Hàm chỉ tiêu của tập hợp A h.c.c. Hầu chắc chắn P Xn → X Xn hội tụ theo xác suất đến X L Xn →2 X Xn hội tụ theo trung bình cấp 2 đến X |A| Lực lượng của tập hợp A X (j) Tọa độ thứ j của phần tử ngẫu nhiên X h·, ·i Tích vô hướng trong H k.k Chuẩn sinh bởi tích vô hướng trong H kXk Chuẩn của phần tử ngẫu nhiên X [x] Phần nguyên của số thực x d X=Y Các phần tử ngẫu nhiên X và Y cùng phân phối lim inf An Giới hạn dưới của dãy các biến cố {An } lim sup An Giới hạn trên của dãy các biến cố {An } N (0, 1) Phân phối chuẩn tắc 2 N (µ, σ 2 ) Phân phối chuẩn với các tham số µ, σ 2 f (n) f (n) ∼ g(n) lim = 1, trong đó f (n) và g(n) là các hàm số dương n→∞ g( ...