Luận văn Thạc sĩ Toán học: Vài kết quả về nghiệm của phương trình ∂

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Vài kết quả về nghiệm của phương trình ∂ được thực hiện nhằm tìm hiểu về toán tử ∂ trên không gian L2(p,q); đánh giá và nghiệm của phương trình ∂. Với các bạn yêu thích Toán học thì đây là tài liệu hữu ích.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Vài kết quả về nghiệm của phương trình ∂ BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Tiến ĐạtVÀI KẾT QUẢ VỀ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ∂ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Tiến ĐạtVÀI KẾT QUẢ VỀ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ∂ Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN VĂN ĐÔNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CÁM ƠN Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Văn Đông – giảngviên trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh. Chính thầy đã tận tình hướngdẫn, giúp đỡ và nghiêm khắc trong khoa học để tôi hoàn thành bản luận văn này.Tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy cô trong Khoa Toán- Tin đã giảng dạy và tạođiều kiện thuận lợi trong suốt quá trình tôi học tập, nghiên cứu. Tôi cũng xinchân thành cảm ơn các cán bộ thuộc các phòng ban chức năng trường Đại HọcSư Phạm TP. Hồ Chí Minh, các thầy cô giáo và bạn bè đồng nghiệp đã giúp đỡrất nhiều trong thời gian tôi nghiên cứu luận văn. Đặc biệt chính gia đình cùngvới cô Lê Hồng Thúy Vũ đã là niềm động viên, an ủi rất lớn để tôi hoàn thànhbản luận văn này. TP.HCM, ngày 18 tháng 9 năm 2012 Tác giả MỤC LỤCTrang phụ bìaLời cám ơnMục lụcDanh sách các ký hiệuMỞ ĐẦU ...................................................................................................................... 1Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ...................................................... 3 1.1. Toán tử vi phân ................................................................................................... 3 1.2. Tích chập và hàm suy rộng ................................................................................. 5 1.3. Miền chỉnh hình, miền giả lồi và tính đa điều hòa dưới ..................................... 7Chương 2 : TOÁN TỬ ∂ TRÊN KHÔNG GIAN L2( p ,q ) (Ω,φ ) .......................... 13 2.1. Toán tử tuyến tính không bị chặn trên không gian Hilbert .............................. 13 2.2. Toán tử ∂ trên không gian L2( p ,q ) (Ω,φ ) .......................................................... 19Chương 3 : L2 - ĐÁNH GIÁ VÀ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ∂ ........... 27 3.1. Các định lý về sự tồn tại nghiệm phương trình ∂ trên miền giả lồi ................ 27 3.2. Định lý về tính chính quy của nghiệm phương trình ∂ ................................... 34 3.3. Giải bài toán Lêvi ............................................................................................. 38 3.4. Định lý xấp xỉ ................................................................................................... 41 3.5. Mở rộng miền Ω của toán tử ∂ lên toàn bộ không gian ( Ω ⊆  n )................. 44KẾT LUẬN ................................................................................................................ 51TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 53 DANH SÁCH CÁC KÍ HIỆU ∂ , ∂ : xem trang 5 ∂z j ∂zjd : kí hiệu dạng vi phân ngoài (trang 6).∧ : kí hiệu tích ngoài (trang 7).∂ và ∂ : những thành phần của d tương ứng thuộc dạng (1,0) và (0,1) (xem trang5).I (hoặc J hoặc K): kí hiệu các đa chỉ số, nghĩa là một dãy (i1 , i2 ,..., i p ) các số nguyêntăng ngặt nằm giữa 1 và n, n là số chiều của không đang xét. Ta viết I = p , ∑ Iđược hiểu là tổng của các phần tử mà chỉ số của nó thỏa i1 < i2 < ... < i p . (xem trang7, 24) Jdz I (hoặc d z ): kí hiệu cho dzi1 ∧ ... ∧ dzi p ∧ d z j1 ∧ ...d z jq (xem trang 7, 24)C k ( Ω ) ( 0 ≤ k ≤ ∞, k ∈  ) : không gian các hàm giá trị phức có đạo hàm liên tụccấp k trên Ω .Cok (ω ) : trong đó ω là một tập con của Ω , là không gian các hàm thuộc C k ( Ω ) vàtriệt tiêu bên ngoài một tập con compact của ω .supp f : kí hiệu giá của f, là bao đóng nhỏ nhất của tập hợp mà bên ngoài tập đó ftriệt tiêu.F( p ,q ) : trong đó F là không gian các hàm bất kì, là kí hiệu không gian các dạngthuộc loại (p,q) với các hệ số thuộc vào F (xem trang 8, 9).L2 (Ω, φ ) : không gian các hàm khả tích bình phương trên Ω theo độ đo e −φ d λnghĩa là = ∫u e −φ d λ < ∞ 2 2 uφA(Ω) : tập tất cả các hàm giải tích trên ...