Lý thuyết hàm suy rộng và không gian Sobolev

Trong bài giảng “Hàm suy rộng và Không gian Sobolev” tôi có trình bày sơ qua về Không gian Sobolev. Trong cách trình bày đó, tôi đã sử dụng phép biến đổi Fourier như một công cụ chính nên mới chỉ dừng lại L^2. Tôi xin giới thiệu một cách trình bày Không gian Sobolev khác qua Đạo hàm suy rộng. Bài giảng này tôi đã trình bày tại Tổ Bộ môn Giải tích, Khoa Toán- Cơ- Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG HN....
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Lý thuyết hàm suy rộng và không gian SobolevLý thuyÕt Hµm suy réng vµ Kh«ng gian Sobolev §Æng Anh TuÊn Hµ Néi, ngµy 20- 11- 2005Ch¬ng 1C¸c kh«ng gian hµm c¬ b¶n vµ kh«nggian hµm suy réng1.1 Mét sè kiÕn thøc bæ sung1.1.1 Mét sè ký hiÖu N = {1, 2, . . . } lµ tËp c¸c sè tù nhiªn, Z+ = {0, 1, 2, . . . } lµ tËp c¸c sè nguyªn kh«ng √©m, R lµ tËp c¸c sè thùc, C lµ tËp c¸c sè phøc. §¬n vÞ ¶o −1 = i. nVíi mçi sè tù nhiªn n ∈ N, tËp Z+ = {α = (α1 , . . . , αn )αj ∈ Z+ , j = 1, . . . , n}, tËp Rn = {x = (x1 , x2 , . . . , xn )xj ∈ R, j = 1, 2, . . . } lµ kh«ng gian thùc n chiÒu víi chuÈnEuclid n X 12 kxk = x2j . j=1NÕu kh«ng cã g× ®Æc biÖt, ký hiÖu Ω lµ tËp më trong Rn .Víi mçi k ∈ Z+ ký hiÖu c¸c tËp nh sau: liªn tôc C k (Ω) = {u : Ω → Cu kh¶ vi liªn tôc ®Õn cÊp k}, C(Ω) = C 0 (Ω) = {u : Ω −→ C}, C0k (Ω) = {u : Ω → Cu ∈ C k (Ω), supp u lµ tËp compact}, C0 (Ω) = C00 (Ω), C ∞ (Ω) = ∩∞ k ∞ ∞ k k=1 C (Ω), C0 (Ω) = ∩k=1 C0 (Ω), trong ®ã,supp u = cl{x ∈ Ωu(x) 6= 0}.Víi mçi sè thùc 1 ≤ p < ∞, ký hiÖu ®® Z p L (Ω) = {u : ΩLebesgue −→ C |u(x)|p < +∞}, Ωvíi p = ∞, ký hiÖu ®® L∞ (Ω) = {u : ΩLebesgue −→ Cess sup |u(x)| < +∞}, x∈Ω2 trong ®ã, ess supx∈Ω |u(x)| = inf{M > 0m{x ∈ Ω