Lũy thừa của ma trận cấp hai thông qua vết và định thức

Trong bài viết này, nhóm tác giả trình bày một phương pháp để tính lũy thừa của ma trận cấp hai thông qua vết và định thức. Bài viết có thể dùng làm tài liệu tham khảo nâng cao cho sinh viên, chuyên đề bồi dưỡng các đội tuyển tham dự kỳ thi Olympic toán học sinh viên toàn quốc.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Lũy thừa của ma trận cấp hai thông qua vết và định thức LŨY THỪA CỦA MA TRẬN CẤP HAI THÔNG QUA VẾT VÀ ĐỊNH THỨC Lê Anh Xuân1, Phạm Thanh Dược1 và Trần Hoài Ngọc Nhân2 1 Trường Đại học Kỹ thuật - Công nghệ Cần Thơ, 2 Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Vĩnh Long. Email: laxuan@ctuet.edu.vn TÓM TẮTThông tin chung:Ngày nhận bài: 21.01.2024 Có nhiều phương pháp để tính lũy thừa của ma trận vuông trongNgày nhận bài sửa: 16.02.2024 từng trường hợp cụ thể; tuy nhiên, nói chung chưa có phương phápNgày duyệt đăng: 20.02.2024 giải bài toán tổng quát. Trong bài viết này, nhóm tác giả trình bàyTừ khóa: Định thức, lũy thừa một phương pháp để tính lũy thừa của ma trận cấp hai thông qua vếtcủa ma trận, vết. và định thức. Đồng thời, nhóm tác giả đưa ra công thức tổng quát và các ví dụ minh họa trong từng trường hợp cụ thể. Cách tiếp cận của nhóm tác giả có thể áp dụng để tính lũy thừa của ma trận vuông cấp cao hơn trên trường là vành chia được trong một lớp rộng; phương pháp này cũng có thể áp dụng để tìm số hạng tổng quát của dãy số được cho bởi công thức truy hồi tuyến tính,... Bài viết có thể dùng làm tài liệu tham khảo nâng cao cho sinh viên, chuyên đề bồi dưỡng các đội tuyển tham dự kỳ thi Olympic toán học sinh viên toàn quốc. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ cấp cao hơn. Gần đây, Konvalina (2015) Tính lũy thừa của ma trận là một bài đưa ra công thức khai triển lũy thừa bậc n của ma trận thông qua các phần tử của nó.toán mở. Luân và cộng sự (2022) đã tổng Tuy nhiên, số hạng tử trong công thức khaihợp 7 phương pháp tính lũy thừa của ma triển của Konvalina và McLaughlin là tươngtrận, mỗi phương pháp đều có ưu nhược đối lớn, từ đó việc rút gọn công thức của họđiểm riêng. Riêng trong trường hợp ma trận là không dễ dàng.cấp hai, Williams (1992) đã đưa ra côngthức tổng quát thông qua giá trị riêng của Trong bài viết này, nhóm tác giả trình bàyma trận và chứng minh tương đối ngắn gọn. phương pháp tính lũy thừa ma trận cấp haiTiếp theo, McLaughlin (2004) đưa ra công thông qua vết và định thức, trên cơ sở ứngthức khai triển lũy thừa bậc n của ma trận dụng định lý Cayley-Hamilton. Cách tiếp cậnthông qua định thức và vết của nó. của nhóm tác giả hoàn toàn khác với các tácMcLaughlin dùng phương pháp quy nạp để giả trước đây. Đồng thời, nhóm tác giả đưa rachứng minh nên giới hạn trong việc ứng công thức cụ thể trong từng trường hợp. Cuốidụng để dự đoán công thức đối với ma trận cùng, chúng tôi trình bày các ví dụ minh họa, TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẦN THƠ - SỐ 01 THÁNG 02/2024 99các kết quả này dễ dàng kiểm tra bằng máy Từ đó, ta có thể dùng các công thức tổ hợp đểtính cầm tay hoặc chứng minh bằng quy nạp. rút gọn từng phần tử của ma trận thu được.Ưu điểm của phương pháp này là trình bày 2.1. Phương pháp tính lũy thừa của matừng bước để đi đến kết quả và đặc biệt là có trận cấp haithể áp dụng để tính lũy thừa của ma trận cấpcao hơn trong một số trường hợp đặc biệt. Từ định lý Cayley-Hamilton (Prasolov, 2. NỘI DUNG 1994, tr. 80), suy ra mọi ma trận A vuông cấp Trong toàn bộ bài viết này, kí hiệu 2 thỏa mãn A2  tr  A   A  det  A   I .tr  A , det  A lần lượt là vết và định thức 2.1.1. Khi det  A  0của ma trận A . Từ định lý Cayley-Hamilton(Prasolov, 1994, tr. 80), suy ra mọi ma trận A Từ A2  tr  A   A , dễ dàng chứng minhvuông cấp 2 thỏa mãn bằng quy nạp, với mọi n  2 thìA2  tr  A  A  det  A  I  0. Trong A n   tr  A   n 1  A.trường hợp det  A  0 hoặc tr  A  0 thì 2.1.2. Khi det  A  0, tr  A   0bài toán trở nên đơn giản. Trường hợpdet  A  0 và tr  A  0, bài toán quy về Từ A2   det  A   I , dễ dàng chứngviệc tính lũy thừa cấp n của ma trận minh bằng quy nạp, với mọi n  2 thì  tr  A  det  A M   . Chúng ta biểu  An   det  A  m  I khi n  2m,  1 0    n  A   det  A   A khi n  2 m  1, mdiễn ma trận M  T  E , trong đó   tr  A   hay  det  A  ...