Luyện thi Đại học môn Toán: Nguyên hàm của hàm hữu tỉ (Phần 1) - Thầy Đặng Việt Hùng

Tài liệu "Luyện thi Đại học môn Toán: Nguyên hàm của hàm hữu tỉ (Phần 1) - Thầy Đặng Việt Hùng" tóm lược nội dung cần thiết và cung cấp các bài tập ví dụ hữu ích, giúp các bạn củng cố và nắm kiến thức về nguyên hàm của hàm hữu tỉ thật hiệu quả.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luyện thi Đại học môn Toán: Nguyên hàm của hàm hữu tỉ (Phần 1) - Thầy Đặng Việt HùngKhóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 04. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỈ - P1 Thầy Đặng Việt Hùng P ( x)Xét nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ I = ∫ dx Q( x)Nguyên tắc giải:Khi bậc của tử số P(x) lớn hơn Q(x) thì ta phải chia đa thức để quy về nguyên hàm có bậc của tử số nhỏ hơn mẫu số.I. MẪU SỐ LÀ BẬC NHẤTKhi đó Q(x) = ax + b. Nếu bậc của P(x) lớn hơn thì ta chia đa thức. P( x) k k d (ax + b) k Khi P(x) là hằng số (bậc bằng 0) thì ta có I = ∫ dx = ∫ dx = ∫ = ln ax + b + C. Q( x) ax + b a ax + b aVí dụ 1: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 4 x +1 2x + 1 x2 + x + 4a) I1 = ∫ 2x − 1 dx b) I 2 = ∫ x −1 dx c) I 3 = ∫ 3 − 4x dx d) I 4 = ∫ x+3 Hướng dẫn giải: 4 4 d (2 x − 1)a) Ta có I1 = ∫ 2x −1 dx = 2 ∫ 2x − 1 = 2ln 2 x − 1 + C. x +1 x −1+ 2  2  dxb) I 2 = ∫ x −1 dx = ∫ x −1 dx = 1 +  ∫  dx = dx + 2 x −1  ∫ x −1 ∫ = x + 2ln x − 1 + C. 1 5 − (3 − 4x ) + 2x + 1 2 dx =  − 1 + 5  1 5 dx 1 5 d (3 − 4x )c) I 3 = ∫ 3 − 4x dx = 2 ∫ 3 − 4x  ∫   2 2 (3 − 4x )   dx = − x + 2 2 3 − 4x =− x− 2 ∫8 3 − 4x ∫ 1 5 1 5= − x − ln 3 − 4 x + C  → I 3 = − x − ln 3 − 4 x + C. 2 8 2 8 x +x+4 2  10  d ( x + 3) x 2d) I 4 = ∫ x+3 = ∫ x − 2 +  x +3  dx = ∫( ) x − 2 dx + 10 ∫ x + 3 = 2 − 2 x + 10ln x + 3 + C.Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: x3 − x + 7 3 x3 + 3 x 2 + x + 2 4 x 4 + 3x 2 + x + 2a) I 5 = ∫ dx b) I 6 = ∫ dx c) I 7 = ∫ dx 2x + 5 x −1 2x + 1 Hướng dẫn giải: 49 x3 − x + 7 1 2 5 21a) Chia tử số cho mẫu số ta được = x − x+ − 8 2x + 5 2 4 8 2x + 5  49  x3 − x + 7 1 2 5 21  1 5 21  49 dxKhi đó I 5 = ∫ dx = ∫  x − x + − 8  dx = ∫  x 2 − x +  dx − ∫ 2x + 5 2 ...