Luyện thi Đại học môn Toán: Nguyên hàm của hàm hữu tỉ (Phần 3) - Thầy Đặng Việt Hùng

Tài liệu "Luyện thi Đại học môn Toán: Nguyên hàm của hàm hữu tỉ (Phần 3) - Thầy Đặng Việt Hùng" tóm lược nội dung cần thiết và cung cấp các bài tập ví dụ hữu ích, giúp các bạn củng cố và nắm kiến thức về nguyên hàm của hàm hữu tỉ thật hiệu quả.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luyện thi Đại học môn Toán: Nguyên hàm của hàm hữu tỉ (Phần 3) - Thầy Đặng Việt HùngKhóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 04. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỈ - P3 Thầy Đặng Việt Hùng P ( x)Xét nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ I = ∫ dx Q( x)Nguyên tắc giải:Khi bậc của tử số P(x) lớn hơn Q(x) thì ta phải chia đa thức để quy về nguyên hàm có bậc của tử số nhỏ hơn mẫu số.III. MẪU SỐ LÀ ĐA THỨC BẬC BAKhi đó Q(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Ta có bốn khả năng xảy ra với Q(x).TH1: Q(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt x1; x2; x3TH2: Q(x) = 0 có 2 nghiệm: một nghiệm đơn, một nghiệm képKhi đó ta có Q( x) = ax3 + bx 2 + cx + d = a ( x − x1 )( x − x2 ) 2 P( x) P ( x) A Bx + CĐể đồng nhất được, ta phải phân tích theo quy tắc: = = + Q ( x) a ( x − x1 )( x − x2 ) 2 x − x1 ( x − x2 )2Đồng nhất hệ số hai vế ta được A, B, C. Bài toán trở về các dạng cơ bản đã xét đến.Chú ý: Ngoài việc sử dụng đồng nhất, ta cũng có thể phân tích tử số theo đạo hàm của mẫu để giải.Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: dx x −1 2 x2 + x + 4a) I1 = 2∫ x ( x + 2) b) I 2 = ∫ ( x + 1)2 ( 2 x − 3) dx c) I 3 = ∫ x 2 ( 2 x − 1) dx Hướng dẫn giải: dxa) Xét I1 = ∫ x ( x + 2) 2 Cách 1: (Đồng nhất hai vế)  1 A = 4 0 = A + B  1 A Bx + C   1Ta có 2 = +  → 1 ≡ Ax 2 + ( Bx + C )( x + 2 ) ⇔  0 = 2 B + C → B = − x ( x + 2) x + 2 x 2 1 = 2C  4   1 C = 2   1 1 1  4 − x+  dx 1 dx 1 dx 1 dx 1 x + 2 1Khi đó, I1 = 2 ∫ x ( x + 2) ∫ =   x+2 + 4 2 2 dx = x  ∫ −∫ 4 x+2 4 x 2 x ∫ + 2 = ln 4 x − 2x + C.   Cách 2: (Sử dụng kĩ thuật phân tích nhảy tầng lầu ta được) 1 1 1 3 x 2 + 4 x − 3x( x + 2) + 2 x + 4 1 ...