Lý Thuyết Đàn Hồi - Chương 3

LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG Dưới tác dụng của các lực ngoài, vật thể đàn hồi thay đổi hình dáng. Sự thay đổi hình dáng này có thể định lượng thông qua chuyển vị của các điểm vật chất của vật thể. Giả thuyết liên tục (the continuum hypothesis) tạo cơ sở cho sự tồn tại của một trường chuyển vị trong vật thể đàn hồi. Mỗi trường chuyển vị tương ứng với một trường biến dạng xác định. Mục đích của chương này là đưa ra các định nghĩa cơ bản của chuyển vị và biến dạng, xác...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Lý Thuyết Đàn Hồi - Chương 3 Lý Thuyết Đàn Hồi Chương III LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG Dưới tác dụng của các lực ngoài, vật thể đàn hồi thay đổi hình dáng. Sự thay đổi hình dáng này cóthể định lượng thông qua chuyển vị của các điểm vật chất của vật thể. Giả thuyết liên tục (the continuumhypothesis) tạo cơ sở cho sự tồn tại của một trường chuyển vị trong vật thể đàn hồi. Mỗi trường chuyển vịtương ứng với một trường biến dạng xác định. Mục đích của chương này là đưa ra các định nghĩa cơ bảncủa chuyển vị và biến dạng, xác lập các quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị cũng như nghiên cứu cácyêu cầu bảo đảm tính liên tục và duy nhất của chuyển vị. Các quan hệ cơ bản của lý thuyết đàn hồi tuyếntính được xây dựng trên cơ sở của lý thuyết biến dạng bé.§3.1 Chuyển vị và biến dạng Khảo sát vật thể đàn hồi dưới tác dụng của lực ngoài. Trước khi tác dụng lực, vật thể có cấu hìnhxác định. Sau khi chịu lực tác dụng, cấu hình vật thể thay đổi chút ít. Lấy minh họa từ trường hợp dầmconson chịu tác dụng của các lực ngoài (H3.1 biểu thị): Cấu hình không biến dạng thể hiện ở lưới hìnhchữ nhật, bên trái. Tác dụng của lực ngoài làm cho các điểm của dầm di chuyển, khiến cho dầm biến dạng,như trên hình vẽ. So sánh các hình chữ nhật con trong hai cấu hình cho thấy cách thức mà các phân tố bêntrong vật thể biến dạng: chúng bị căng và bị lệch dạng (trượt). Biến dạng của vật thể đàn hồi phát sinh làdo có chuyển vị tương đối giữa các điểm bên trong vật thể. Chuyển vị loại này tương phản với chuyển vịrắn, là chuyển vị bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm của vật thể. Để định lượng biến dạng, hãy xét hình H3.2. Trong cấu hình không biến dạng, chú ý đến hai điểmP0 và P cạnh nhau, xác định vector định vị tương đối r. Trong cấu hình biến dạng, các điểm này chiếm cácvị trí P0 và P . Trong lý thuyết biến dạng lớn/ hữu hạn, sự sai khác giữa cấu hình không biến dạng và cấuhình biến dạng là đối tượng xem xét. Tuy nhiên, trong phạm vi của lý thuyết đàn hồi truyến tính, ta chỉ sửdụng lý thuyết biến dạng bé, nên sự sai khác giữa cấu hình không biến dạng và cấu hình biến dạng đượcbỏ qua. Sử dụng hệ tọa độ Đề-Các và định nghĩa vector chuyển vị tương đối của các điểm P0 và P, tươngứng, bởi u0 và u. Chuyển vị của các điểm trong vật thể đànhồi là hàm liên tục của các tọa độ, do đó, chuyển vị r (u , v, w) của điểm P lân cận với điểm P0 có thể xácđịnh qua chuyển vị u0 (u 0 , v0 , w0 ) của điểm P0 nhờ khai triển Taylor, bỏ qua các số hạng bậc cao vì cácthành phần của r là bé: 36 Lý Thuyết Đàn Hồi ∂u ∂u ∂u u = u0 + rx + ry + rz ; ∂x ∂y ∂z ∂v ∂v ∂v v = v0 + rx + ry + rz ; (3.1) ∂x ∂y ∂z ∂w ∂w ∂w w = w0 + rx + ry + rz . ∂x ∂y ∂z ( )Sự thay đổi của vector vị định tương đối r rx , ry , rz do biến dạng được xác định bởi ∆r = r − r = u − u0 .Từ đó, ∂u ∂u ∂u ∆rx = u − u 0 = rx + ry + rz ; ∂x ∂y ∂z ∂v ∂v ∂v ∆ry = v − v0 = rx + ry + rz ; (3.2) ∂x ∂y ∂z ∂w ∂w ∂w ∆rz = w − w0 = rx + ry + rz . ∂x ∂y ∂zCó thể viết (3.2) gọn hơn, dưới dạng ký hiệu chỉ số: ∆ri = ui , j r j . (3.3)Tensor ui , j có tên là tensor gradient chuyển vị và có thể được viết dưới dạng  ∂u ∂u ∂u   ∂x ∂y ∂y     ∂v ∂v ∂v  . (3.4) ui , j =  ∂x ∂y ∂z   ∂w ∂w ∂w     ∂x ∂y ∂z   Trên cơ sở các phép tính tensor, có thể phân tích tensor gradient chuyển vị thành tổng của hai thành phầnđối xứng và phản xứng như sau ui , j = e ij + ωij , (3.5)trong đó, 37 Lý Thuyết Đàn Hồi ( ) 1 eij = ui , j + u j , i . ; (3.6) 2 ( ...