Lý Thuyết Đàn Hồi - Chương 6

BÀI TOÁN PHẲNG Như đã được nhắc đến, cho tới nay vẫn chưa tìm được lời giải trực tiếp của bài toán đàn hồi cho trường hợp tổng quát, vì thế cho nên, lời giải trong các trường hợp riêng có một giá trị hết sức to lớn. Các lời giải trong các trường hợp này có được nhờ hạn chế bớt, bằng một cách nào đó, tính tổng quát của bài toán được đặt ra. Việc biến đổi gần đúng bài toán ba chiều (3D) về bài toán hai chiều (2D), dẫn đến việc hình thành các bài...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Lý Thuyết Đàn Hồi - Chương 6 Lý Thuyết Đàn Hồi Chương VI BÀI TOÁN PHẲNGNhư đã được nhắc đến, cho tới nay vẫn chưa tìm được lời giải trực tiếp của bài toán đàn hồi cho trườnghợp tổng quát, vì thế cho nên, lời giải trong các trường hợp riêng có một giá trị hết sức to lớn. Các lời giảitrong các trường hợp này có được nhờ hạn chế bớt, bằng một cách nào đó, tính tổng quát của bài toánđược đặt ra. Việc biến đổi gần đúng bài toán ba chiều (3D) về bài toán hai chiều (2D), dẫn đến việc hìnhthành các bài toán phẳng, là một ví dụ. Đây là một loại bài toán mà lời giải của nó có ứng dụng thực tếrộng rãi.§6.1 Thiết lập bài toán phẳng Bài toán phẳng của Lý thuyết đàn hồi có thể phân thành hai nhóm: các bài toán về biến dạngphẳng và các bài toán về ứng suất phẳng. Trước khi tiến hành giải bài toán, ta hãy xác định các phươngtrình cơ bản cùng với các công thức thiết yếu của hai bài toán nói trên, cho vật thể trực hướng.6.1.1 Trạng thái biến dạng phẳng. Khái niệm biến dạng phẳng dùng để chỉ một trạng thái của vật thể, mà theo đó, một trong cácchuyển vị bằng 0 còn hai chuyển vị còn lại không phụ thuộc vào toạ độ tương ứng với chuyển vị bằng 0nói trên. Trục tương ứng với thành phần cv bằng 0, giả sử, là z. Giả thiết thêm rằng, mặt phẳng x-y là mặtphẳng đàn hồi đối xứng. Định nghĩa của trạng thái biến dạng phẳng có thể được biểu diễn như sau: w = 0; u = u ( x, y ); v = v( x, y ) . (6.1)Trên cơ sở của quan hệ biến dạng - chuyển vị (5.2) và định luật Hooke tổng quát (4.31), từ (6.1) có thểsuy ra: ε x = ε x ( x, y ); ε y = ε y ( x, y ); γ xy = γ xy ( x, y ); ε z = γ yz = γ zx = 0. . (6.2)Trạng thái biến dạng phẳng xảy ra trong vật thể hình lăng trụ dài, chịu tải trọng tác dụng vuông góc vớitrục của lăng trụ và không đổi dọc theo trục này (H6.1). Có thể nhận thấy rằng các tiết điện ngang R của 82 Lý Thuyết Đàn Hồihình lăng trụ trên chuyển vị giống hệt nhau và như vậy, bài toán 3D có thể đưa về 2D, xác lập trong miềnR (mặt phẳng x-y).Dựa trên các điều kiện (6.1) và (6.2), có thể thu được các phương trình cơ sở và các công thức chủ yếucủa bài toán đàn hồi như sau:1. Phương trình cân bằng: Phương trình cân bằng (5.1) trong trường hợp khảo sát có thể viết: ∂σ x ∂τ xy ∂τ xy ∂σ y + = 0; + = 0; (6.3) ∂x ∂y ∂x ∂y(Phương trình thứ 3 dẫn đến sự đồng nhất 0 = 0 giữa hai vế; Lực khối được bỏ qua: Fx = Fy = Fz = 0 )2. Quan hệ biến dạng-cv (5.2) sẽ có dạng: ∂u ∂v ε x = ; ε y = ; ε z = 0; ∂x ∂y (6.4)  ∂v ∂u  γ xy =  + ; γ yz = γ zx = 0.  ∂x ∂y   3. Phương trình tương thích: Từ (5.3) và (6.2), có: ∂ 2 ε x ∂ ε y ∂ γ xy 2 2 + = . (6.5) ∂x∂y ∂y 2 ∂x 24. Định luật Hooke:a. Cho vật thể trực hướng:Để có được công thức của định luật Hooke cho vật thể trực hướng trong trường hợp khảo sát, có thể xuấtphát từ công thức (4.31), được kết quả: σy  ν zxν yZ  σ ε x = x (1 − ν zxν xz ) − ν yx 1 − ;  ν yx  Ex Ey   σy (1 −ν zyν yz ) − σ x ν xy 1 − ν ν ν xz ;   εy = zy (6.6)   Ey E   ...