Lý Thuyết Đàn Hồi - Chương 7

XOẮN THANH LĂNG TRỤ Một trong những ứng dụng thực tế quan trọng, của phương pháp nửa ngược Saint Venant là việc giải bài toán thanh lăng trụ chịu tác dụng của hai momen xoắn tại hai đầu, khi lực khối được bỏ qua (xoắn thuần túy). Mặt bên của thanh hoàn toàn tự do. Vật liệu thanh là đẳng hướng. Hệ tọa độ Oxyz là hệ tọa độ thuận, trực giao, với các trục Oy và Oz là tuỳ ý trên tiết diện ngang. sát...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Lý Thuyết Đàn Hồi - Chương 7 Lý Thuyết Đàn Hồi Chương VII XOẮN THANH LĂNG TRỤ Một trong những ứng dụng thực tế quan trọng, của phương pháp nửa ngược Saint Venant là việc giải bài toán thanh lăng trụ chịu tác dụng của hai momen xoắn tại hai đầu, khi lực khối được bỏ qua (xoắn thuần túy). Mặt bên của thanh hoàn toàn tự do. Vật liệu thanh là đẳng hướng. Hệ tọa độ Oxyz là hệ tọa độ thuận, trực giao, với các trục Oy và Oz là tuỳ ý trên tiết diện ngang. §7.1 Lời giải tổng quát theo phương pháp nửa ngược Bài toán đặt ra được giải theo phương pháp nửa ngược: một phần nghiệm được ấn định trước (trên một cơ sở nào đó), phần còn lại được tìm theo cách giải thuận: thựchiện việc tích phân phương trình cơ sở chung, đã được đơn giản hóa. 7.1.1 Dạng nghiệm ban đầu Trên cơ sở quan sát các kết quả thí nghiệm xoắn thanh lăng trụ thẳng, tiết diện ngang bất kỳ ta có thể ấn định chuyển vị của điểm trên tiết diện ngang làm dạng nghiệm ban đầu như sau: v = −αzx; (7.1) w = αxy u = u ( y, z ) (7.2) Với các chuyển vị xác định theo (10.1), tiết diện ngang của thanh xoay một góc α, trong khi vẫn bảo toàn hình dáng (của hình chiếu trên mặt phẳng tọa độ y-z) (H7.1) 101 Lý Thuyết Đàn Hồi Trường hợp thanh tròn, trên cơ sở giả thiết Coulom, ta xác định được ngay u ( y , z ) = 0, tức khi bị xoắn, tiết diện ngang thanh tròn không bị vênh. Khi thanh là lăng trụ, chuyển vị theo phương trục Ox của các điểm trên tiết diện ngang, xác định theo công thức (7.2), là hàm của hai tọa độ (y,z). Như vậy, đã giả thiết rằng, khi bị xoắn thuần tuý, tiết diện ngang thanh lăng trụ không còn phẳng nữa. 7.1.2 Hàm ứng suất và phương trình cơ sở Xuất phát từ dạng nghiệm ban đầu (7.1) và (7.2), ta sẽ giải tiếp bài toán theo ứng suất. Sử dụng phương trình của định luật Hooke tổng quát và quan hệ Cauchy, có thể chứng tỏ rằng, với chuyển vị của các điểm được xác định sơ bộ bởi các công thức (7.1) và (7.2) thì trong các thành phần ứng suất, chỉ có ứng suất τ xy và τ zx là khác 0, tức: τ xy ≠ 0; τ zx ≠ 0; σ x = σ y = σ z = τ yz = 0 (7.3) Bài toán dẫn đến việc tìm hai thành phần ứng suất chưa biết trong (7.3). Đầu tiên, phương trình cân bằng phải được thỏa mãn. Sau khi thay (7.3) vào phương trình cân bằng (2.16), với X = Y = Z = 0, ta thu được ∂τ xy ∂τ zx + = 0; ∂y ∂z (7.4) ∂τ xy ∂τ zx = 0; = 0. ∂x ∂x Từ các đẳng thức (7.4), có thể suy ra rằng, các ứng suất τ xy và τ zx không phụ thuộc vào toạ độ x. Để thoả mãn (7.4), ta chỉ cần tìm được hàm ϕ của hai biến y, z được định nghĩa như sau: ∂ϕ ( y, z ) τ xy = ; ∂z (7.5) ∂ϕ ( y, z ) τ zx = − , ∂y trong đó, ϕ(y,z) – là hàm bất kỳ (hai lần khả vi) của các toạ độ y và z. Hàm ϕ(y,z) được gọi là hàm ứng suất. Hàm ứng suất ϕ(y,z) trên đây do Prandt đưa ra đầu tiên 7.1.3 Điều kiện tương thích -Phương trình Poisson Các điều kiện cân bằng (7.4) sẽ tự thoả mãn với mọi hàm ϕ(y,z). Để tìm ra phương trình xác định hàm này, ta sử dụng các điều kiện tương thích (3.32). Trên cơ sở các công thức (7.4), (7.5), định luật Hooke tổng quát (4.40) và phương trình tương thích (3.35*), ta thu được ∂ϕ ∂ = ∇ 2ϕ = 0; ∇2 ∂y ∂y (7.6) 2 ∂ϕ ∂2 = ∇ ϕ = 0, ∇ ∂z ∂z trong đó, ∂2 ∂2 ...