LÝ THUYẾT THÔNG TIN - bài tập chương 2

Giáo trình Lý thuyết thông tin là một giáo trình cơ sở dùng cho sinh viên chuyên ngành Điện tử – Viễn thông và Công nghệ thông tin của Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông. Đây cũng là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các sinh viên chuyên ngành Điện - Điện tử. Giáo trình này nhằm chuẩn bị tốt kiến thức cơ sở cho sinh viên để học tập và nắm vững các môn kỹ thuật chuyên ngành, đảm bảo cho sinh viên có thể đánh giá các chỉ tiêu chất lượng cơ bản của...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
LÝ THUYẾT THÔNG TIN - bài tập chương 2 Lý THUYẾT THÔNG TIN Bài tập chương 2: Tín hiệu và nhiễu Giáo viên : Ngô Tứ Thành 1.Các kiến thức cần ôn lại: 1.1 Phương sai 1.2 Kì vọng 1.3 Xác suất có điều kiện 1.4 Một số phân phối ngẫu nhiên thông dụng 1.5 Hàm tự tương quan 1.6 Biến đổi Laplace, chuỗi Maclaranh 1.1 Kì vọng Kỳ vọng toán học( giá trị trung bình) của đại lượng ngẫu nhiênx(t) là hàm thời gian được xác định như sau: -Với biến liên tục: ∞ mx (t ) = M [ x(t )] = ∫ x.W ( x, t )dx. −∞ 1 -Với biến rời rạc: ∞ mxn ( t( )t )==M [ xxt( )t]) ]==∑ xxpp M[ ( ∞ m xn i =1 ∑ii ii i =1 1.1Kỳ vọng Tính chất của kỳ vọng: M [ X + Y ] = M [ X ] + M [Y ] M [ CX ] = C.M [ X ] 1.2Phương sai Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên x(t) được ký hiệu là D(t) được xác định như sau: -Với biến liên tục: +∞ D x (t ) = M [{x (t ) − mx (t )}2 ] = ∫ −∞ [{x (t ) − mx (t )}2 ].W1 ( x, t )dx -Với biến rời rạc: ( t ) = M {[ x ( t ) − mx ( t ) ] 2 } = ∑ [ xi − mx ( i ) ]2 pi ∞ Dx n i =1 Phương sai là một hàm theo thời gian biểu thị độ lệch của các thể hiện đối với giá trị trung bình m(t) 1.3 Xác suất có điều kiện Xác suất xảy ra biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được xác định: P( A.B ) P( A / B ) = P( B ) Từ công thức trên ta có công thức nhân xác suất: P(A.B)=P(A).P(B/A)=P(B).P(A/B) 1.4 Một số hàm phân phối xác suất thông dụng Phân phối Poison: Biến ngẫu nhiên x(t) có phân phối Poision với tham số λ nếu hàm xác suất của nó có dạng: ( λ t ) e − λt n Pn (t ) = n! Phân phối đều: Biến ngẫu nhiên X được gọi là phân bố đều trên Đoạn (a,b) nếu nó có hàm mật độ:  1  x ∈ [ a, b ] f ( x) =  b − a  0  x ∉ [ a, b ] 1.5 Hàm tự tương quan Theo định nghĩa hàm tự tương quan được tính bằng công thức: ∆ Rx ( t1 , t 2 ) = M { [ x( t1 ) − m( t1 ) ][ x( t 2 ) − m( t 2 ) ]} = M { x( t1 ).x( t 2 )} − m( t1 ).m( t 2 ) Với quá trình có: m( x ) = M x ( t ) = const →Rx ( t1 , t 2 ) = M { x ( t1 ).x ( t 2 )} −m 2 ( t ) -Với tín hiệu liên tục ta có: ∞ ∞ Rx ( t1 , t 2 ) = ∫ ∫ x( t ).x( t ). p[ x( t ); x( t ) ] dx dxt 2 − m ( t ) 2 1 2 1 2 t1 − ∞− ∞ -Với tín hiệu rời rạc ta có: [ ] n m Rx ( t1 , t 2 ) = ∑∑ xi ( t1 ).x j ( t 2 ). p xi ( t1 ); x j ( t 2 ) − m 2 ( t ) i =1 j =1  Hàm tự tương quan chuẩn hoá rx ( t1 , t 2 ) ∆ Rx ( t1 , t 2 ) rx ( t1 , t 2 ) = Rx ( t1 , t1 ).Rx ( t 2 , t 2 ) Với quá trình dừng τ = t 2 −t1 ta có: Rx (τ ) rx (τ ) = Rx (0) Hàm mật độ phổ:  Thời gian tương quan được tính theo công thức: ∞ ∞ 1 1 Rx (τ ) τ k = ∫ | rx (τ ) |dτ = ∫ | |dτ 2 −∞ 2 −∞ Rx (0) BÀI 2.2 x(t) 1 0 Hình 2.2  Thời gian tương quan được tính theo công thức: ∞ ∞ 1 1 Rx (τ ) τ k = ∫ | rx (τ ) |dτ = ∫ | |dτ 2 −∞ 2 −∞ Rx (0) BÀI 2.2 x(t) 1 0 Hình 2.2 Ta có: P (0) = P (1) = 1 2 2 m(t ) = ∑ xi P ( xi ) = 1.P (1) + 0.P (0) = 0.5 1 Áp dụng công thức hàm tương quan ta có: R(τ ) = M  x(t ).x ( t + τ )  − m 2 (t )   Đặt B (τ ) = M  x(t ).x ( t + τ )    B ( τ ) = ∑ x ( t ) . x ( t + τ ) .P[ x ( t ) . x ( t + τ ) ] τ Ta có bảng trạng thái của x (t ), x (t + ) x(t ) 0 0 1 1 x(t + τ ) 0 1 0 1 Thay x (t ), x (t + ) vào B (τ ) ta có: τ B (τ ) = 1.1.P ( xt = 1; xt +τ = 1) = P ( xt = 1; xt +τ = 1) P { xt = 1; xt + τ = 1} = P { xt = 1} .P { xt + τ = 1 x= t }1 = P{ x = 1} .∑ P (τ ) t n= ...