lý thuyết và ứng dụn giải bài tập Cauchy và swat

BĐT là một vấn đề khá quan trọng của toán học.Càng ngày vấn đề này càng được khai thác sâu hơn.Chính vì đó phương pháp giải cũng rất đa dang phong phú và ngày càng phức tạp.Cũng như tất cả mọi bài toán, để giải quyết tốt thì trước hết chúng ta cần nắm vững lí thuyết và phương pháp giải bắt đầu từ cơ bản mà nâng cao dần lên.Hiểu và làm được điều đó, tất yếu chúng ta sẽ thu được kết quả tốt trong mảng này cũng như mọi vấn đề khác. ...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
lý thuyết và ứng dụn giải bài tập Cauchy và swatCauchy-Schwarz inequality. 1kĩ thuật sử dụng bất đẳng thứccauchy-schwarz`Đầu tiên xin được nhắc lại nội dung bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Với haibộ số thực bất kì a1, a2, …, an và b1, b2, …, bn ta có bất đẳng thức: (a12+a22+ …+an2)(b12+b22+ …+bn2) ≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi aibj=ajbi với mọi i≠j.Ta hãy nhìn bất đẳng thức trên dưới dạng khác như sau: Với hai bộ số thựcbất kì a1, a2, …, an và b1, b2, …, bn thoả mãn bi dương ta có:a12 a2 2 a 2 (a  a2  ...  an )2   ...  n  1b1 b2 bn b1  b2  ...  bnĐẳng thức cũng chỉ xảy ra khi và chỉ khi aibj=ajbi với mọi i≠j. Để sử dụngthật tốt bất đẳng thức này các bạn phải có cái nhìn hai chiều với bất đẳngthức trên. Nói chung thì bất đẳng trên ứng dụng giải toán nhiều hơn hay dễsử dụng hơn bất đẳng thức dạng chính tắc.Bây giờ ta đi vào xét các ví dụ để thấy được sức mạnh của bất đẳng thứccauchy-schwarz.Cauchy-Schwarz inequality. 2Ví dụ 1. Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức Nettbits ba biến.a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng: a b c 3    bc ca ab 2Lời giải.Lời giải bài toán trên rất đơn giản. Sử dụng bất đẳng Cauchy-Schwarz tađược. a b c a2 b2 c2 (a  b  c ) 2 3(ab  bc  ca) 3        b  c c  a a  b ab  ac bc  ab ac  bc 2(ab  bc  ca) 2(ab  bc  ca ) 2Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c. ♠Ví dụ 2. a, b, c là các số dương tuỳ ý. Chứng minh bất đẳng thức bc ca ab a bc   b  c  2a c  a  2b a  b  2c 4Lời giải.Ta sử dụng nhận xét sau để giải bài toán trên: bc bc 4 bc 1 1 1 bc bc  .  (  ) (  )b  c  2a 4 ( a  b)  ( a  c ) 4 a  b a  c 4 a b a cTừ đánh giá trên ta được bc ca ab 1 ac bc a bc    (  )b  c  2a c  a  2b a  b  2c 4 a ,b,c a  b a  b 4Đây là điều phải chưúng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c. ♠Lời giải trên thật thú vị phải không các bạn, điều đáng chú ý trong cách giảitrên là việc phát hiện hằng đẳng thức sau ab ac  (a  b  a  b)  a  b  c a ,b , cCố gắng tạo ra các đẳng thức bằng cách tách nhóm thích hợp ta sẽ có đượcnhững lời giải đẹp. Kĩ thuật này có thể ứng dụng cho các ví dụ tiếp theo sauđây.Ví dụ 3. a,b,c là các số dương có tổng bằng 3. Chứng minh bất đẳng thức sau 1 1 1 1  2  2  4a  b  c a  4b  c a  b  4c 2 2 2 2 2 2 2 2Cauchy-Schwarz inequality. 3Lời giải.Sử dụng tư tưởng như trên. Ta cố gắng tìm một đẳng thức. Ta chú ý đếnhằng đẳng thức sau a2 b2 ( a ,b , c  2 a 2  b2 a  b2 )3Ta chú ý đến đẳng thức sau 4a2+b2+c2=2a2+(a2+b2)+(a2+c2) và sử dụng bấtđẳng thức Cauchy-Schwarz ta được phân tích sau 9 ( a  b  c) 2 a2 b2 c2  2  2 2 2 2 24 a 2  b 2  c 2 2 a  ( a 2  b 2 )  ( a 2  c 2 ) 2a a  b a  cTừ phân tích trên ta được 1 a2 b2 c2 99 2   2  ( 2  2 2) 4a  b  c 2 2 2a a b a c 2 2Từ đó ta được điều phải chứng minh.Đẳng thức chỉ xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1. ♠Qua các ví dụ trên ta thấy kĩ thuật tách nhóm để sử dụng bất đẳng Cauchy-Schwarz thật đơn giản nhưng cho được những lời giải đẹp, vừa hay lại vừađộc đáo. Khi phương pháp tách nhóm để đưa về hằng đẳng thức không cònhiệu quả nữa thì ta nên sử lí thế nào? Nói chung việc ước lượng thông quahằng đẳng thức cũng không quan trọng lắm, miễn là sau khi sử dụng Bấtđẳng thức Cauchy-Schwarz thì ta vẫn còn có thể ước lượng các bước tiếptheo. Thay vì cố gắng tìm kiếm hằng đẳng thức ta có thể ước lượng thôngqua các bất đẳng thức.Ta sẽ xem xét các ví dụ sau để thấy được điều đó.Ví dụ 4. Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c ta đều có bất đẳngthức: a2 b ...