Mở rộng đơn cực Dirac và Yang cho không gian 9 chiều

Sử dụng phép biến đổi Hurwitz mở rộng chúng tôi tìm ra mối liên hệ tương đương giữa dao động tử điều hòa 16 chiều và nguyên tử đồng dạng hydro 9 chiều trong trường định chuẩn SO(8). Dựa trên phát hiện này, các tác giả xây dựng một đơn cực trong không gian 9 chiều, chính là mở rộng của đơn cực Dirac (1931) cho không gian 3 chiều cũng như của đơn cực Yang (1978) cho không gian 5 chiều.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Mở rộng đơn cực Dirac và Yang cho không gian 9 chiềuCreated by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version)http://www.simpopdf.comTạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCMLê Văn Hoàng và tgk_____________________________________________________________________________________________________________MỞ RỘNG ĐƠN CỰC DIRAC VÀ YANGCHO KHÔNG GIAN 9 CHIỀULÊ VĂN HOÀNG*, NGUYỄN THÀNH SƠN**TÓM TẮTSử dụng phép biến đổi Hurwitz mở rộng chúng tôi tìm ra mối liên hệ tương đươnggiữa dao động tử điều hòa 16 chiều và nguyên tử đồng dạng hydro 9 chiều trong trườngđịnh chuẩn SO(8). Dựa trên phát hiện này, chúng tôi có cách đơn giản để xây dựng mộtđơn cực trong không gian 9 chiều, chính là mở rộng của đơn cực Dirac (1931) cho khônggian 3 chiều cũng như của đơn cực Yang (1978) cho không gian 5 chiều.ABSTRACTGeneralization of Dirac and Yang monopoles for 9-dimension spaceUsing the generalized Hurwitz transformation, we find an equivalent correlationbetween a 16-dimension harmonic oscillator and a 9-dimension hydrogen-like atom in theSO (8) gauge field. Based on this finding, we propose a simple method to establish amonopole in a 9-dimension space which is really a generalization of Dirac monopole(1931) for 3-dimension space as well as of Yang monopole (1978) for 5-dimension space.1.Mở đầuNăm 1978, Yang Chen Ning đã mởrộng đơn cực từ Dirac cho không gian 5chiều qua mô hình tương tác giữa trườngđịnh chuẩn SU(2) với hạt có isospin [10].Tính chất cơ bản của trường đơn cựcSU(2) là (i) thông lượng qua một mặt kíntrong không gian 5 chiều chứa đơn cực làkhác không; (ii) trường có đối xứng cầuO(5). Một hạt đơn cực như vậy đồng thờicó điện tích người ta gọi là đơn cựcYang-Coulomb, được nghiên cứu tươngđối nhiều [6-8].Từ kết quả của Yang, việc xâydựng đơn cực từ cho không gian nhiềuchiều khác là một nhu cầu tự nhiên và đãđược tiến hành trong một số công trình*PGS TSKH, Khoa Vật lý Trường Đại họcSư phạm TP HCM**ThS, Khoa Khoa học Cơ bản TrườngĐại học Kiến trúc TP HCM[9-10]. Tuy nhiên, cho đến nay chưa cókết quả nào thảo luận về việc mở rộngđơn cực từ theo lô-gic của Yang khi pháttriển từ đơn cực từ Dirac 3 chiều lênkhông gian 5 chiều. Ở đây, một tính chấtrất quan trọng của đơn cực Dirac cũngnhư Yang là khi kết hợp với điện tích nókhông phá vỡ các tính chất đối xứng củabài toán Coulomb. Cụ thể như sự có mặtcủa đơn cực Dirac không làm thay đổiđối xứng O(4) và vẫn tồn tại một bất biếnlà véc-tơ Runge-Lenz cũng như đối xứngđộng lực SO(4,2) [2]. Tương tự như vậyvới đơn cực Yang thì bài toán Coulomb 5chiều vẫn bảo toàn đối xứng O(6) [6], đốixứng động lực SO(6,2) [8]. Chúng ta sẽgọi một đơn cực là mở rộng trực tiếp củađơn cực Dirac và đơn cực Yang nếu nhưnó có những tính chất tương tự như vậy.Trong công trình [3], chúng tôi đãmở rộng phép biến đổi Hurwitz và dựavào đó để xây dựng mối liên hệ giữa bài3Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version)http://www.simpopdf.comTạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCMSố 24 năm 2010_____________________________________________________________________________________________________________toán dao động tử 16 chiều với bài toánCoulomb 9 chiều với sự có mặt mộttrường định chuẩn tương tác với hạt cócác tính chất được đặc trưng bằng mộtđại số kín bao gồm 28 vi tử. Điều này gợiý cho một cách khái quát hóa đơn cựcYang lên không gian 9 chiều từ mộthướng tiếp cận hoàn toàn mới liên quanđến mối liên hệ giữa dao động tử điềuhòa n chiều và bài toán Coulomb Nchiều. Cho đến nay mối liên hệ này đượcxây dựng cho các trường hợp số chiềun ® N như sau: 2 ® 2 , 3 ® 4 , 5 ® 8 và9 ® 16 [4]. Một tính chất rất quan trọngcủa mối liên hệ này là khi bài toánCoulomb được thêm đơn cực từ thì mốiliên hệ với dao động tử điều hòa vẫn tồntại. Trong trường hợp 3 ® 4 ta có đơncực từ Dirac [5], còn trong trường hợp5 ® 8 đó là đơn cực Yang [6-8]. Câu hỏiđặt ra là đơn cực nào cho trường hợp9 ® 16 khi thêm vào bài toán Coulomb 9chiều mà vẫn không phá vỡ mối liên hệvới dao động tử điều hòa 16 chiều?Trong công trình này, trả lời chocâu hỏi trên một cách trọn vẹn, chúng tôixây dựng đơn cực trong không gian 9chiều theo mô hình đại số SO(8) sao chobài toán Coulomb với sự có mặt của đơncực này trở thành dao động tử điều hòa16 chiều qua phép biến đổi Hurwirz mởrộng [3]. Ở đây từ 9 chiều sang bài toán16 chiều có xuất hiện 7 chiều không gianmới trong các biểu thức tường minh của28 vi tử của đại số SO(8). Các biến sốmới này được đưa vào thông qua phépbiến đổi Hurwitz mở rộng. Như vậy đơncực được xây dựng tường minh này có4thể xem là một dạng mở rộng của đơncực từ Dirac cũng như đơn cực Yang:Dimension :3 = 21 +1 ® Dirac monopole:5 = 22 +1 ® SU (2) Yang monopole:9 = 23 +1 ® SO(8) monopole2.Phép biến đổi Hurwitz mở rộngTrong phần này chúng tôi sẽ viết lạiphép biến đổi Hurwitz mở rộng, đượccông bố trong công trình [3], đồng thờiđưa ra một số công thức mới, tườngminh, thuận lợi cho việc sử dụng trong ...