Môdun nón phân thớ Cohen – Macaulay

Bài viết đưa ra một số đặc trưng Cohen-Macaulay của nón phân thớ ứng với lọc Iadic của môđun trong trường hợp môđun phân bậc liên kết có độ sâu hầu cực đại và I có số bội tối tiểu. Đây là các kết quả mở rộng của các kết quả trước đó của Dcruz-RaghavanVerma và Jayanthan-Verma.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Môdun nón phân thớ Cohen – MacaulayTẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 18. 2014 MÔDUN NÓN PHÂN THỚ COHEN – MACAULAY Lê Xuân Dũng1 TÓM TẮT Bài báo đưa ra một số đặc trưng Cohen-Macaulay của nón phân thớ ứng với lọc I-adic của môđun trong trường hợp môđun phân bậc liên kết có độ sâu hầu cực đại và I có sốbội tối tiểu. Đây là các kết quả mở rộng của các kết quả trước đó của Dcruz-Raghavan-Verma và Jayanthan-Verma. Từ khóa: môđun phân bậc liên kết, nón phân thớ, hệ số Hilbert và Cohen–Macaulay. 1. GIỚI THIỆU Cho ( A,m ) là một vành địa phương Cohen-Macaulay với trường thặng dư vô hạn.Cho I là một iđêan m -nguyên sơ. Sự tác động của hệ số Hilbert đối với độ sâu và tínhCohen-Macaulay của vành phân bậc liên kết được nhiều tác giả quan tâm. Điều kiện của hệsố Hilbert có tác động đến độ sâu của vành phân bậc liên kết đầu tiên được đưa ra bởi Sally[10]. Sau đó trong [7], Huckaba-Marley đặc trưng được tính Cohen–Macaulay của vànhphân bậc liên kết qua hệ số Hilbert thứ hai. In Vấn đề tương tự được đặt ra đối với vành nón phân thớ Fm (I) . Trong [8], n 0 In+1Jayanthan-Verma chỉ ra rằng hệ số Hilbert thứ hai tương ứng với hàm Hilbert (A/mIn ) ảnhhướng đến tính Cohen–Macaulay của vành nón phân thớ. Kết quả này được Rossi-Valla trong[9] mở rộng cho nón phân thớ của môđun lọc. Còn Hệ số Hilbert của vành nón phân thớ ảnhhưởng như thế nào đến tính Cohen–Macaulay? Trong trường hợp vành nón phân thớ củaiđêan, Dcruz-Raghavan-Verma [4] chỉ ra được tính Cohen–Macaulay của vành nón phân thớliên quan đến Hệ số Hilbert đầu tiên (số bội) và chuỗi Hilbert-Poincare của nón phân thớ. Mục đích chính của bài báo này là mở rộng kết quả của Dcruz-Raghavan-Vermatrong [4] và Jayanthan-Verma trong [8]. Ngoài phần giới thiệu, bài báo chia thành hai mục. Mục 2 đưa ra đặc trưng tínhCohen–Macaulay của nón phân thớ trong trường hợp môđun phân bậc liên kết có độ sâuhầu cực đại (Định lý 2.8). Mục 3 đưa ra đặc trưng tính Cohen–Macaulay của nón phân thớtrong trường hợp iđêan có số bội tối tiểu (Định lý 3.4) 2. TRƢỜNG HỢP ĐỘ SÂU HẬU CỰC ĐẠI Trong bài viết luôn giả thiết A là vành Noether địa phương với trường thặng dư k:=A/m vô hạn, M là A-môđun hữu hạn sinh, I là iđêan m-nguyên sơ và dim(M) = d.1 Khoa Khoa học Tự nhiên, Đại học Hồng Đức 29 TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 18. 2014 Định nghĩa 2.1. (i) Môđun phân bậc liên kết của môđun M ứng với I được xác định bởi công thức GI(M):= InM/In+1M. n 0 (ii) (Xem [9, Chapter 5 ]) Giả sử q là một iđêan tùy ý chứa I. Nón phân thớ củamôđun M ứng với q và I được xác định bởi công thức Fq,I(M) := InM/q In+1M. n 0 Nếu M = A và q = m thì đây là nón phân thớ cổ điển của I: Fm(I) := In/m In. n 0 Nhận xét 2.2. (i) GI(M) và Fq,I(M) là các môđun phân bậc trên G := GI(A). (ii) Nếu I là iđêan m-nguyên sơ thì ta có dim(GI(M)) = dim(Fq,I(M)) = dim(M). (iii) Với n 0 thì HI,M(n) = (M/InM), Hq,I,M(n) = (M/qInM) và h Fq,I (M) (n) = (InM/qInM) là các đa thức và ta gọi là đa thức Hilbert của môđun M ứng với I, đa thứcHilbert của môđun M ứng với q và I và đa thức Hilbert của nón phân thớ F q,I(M). Các đathức này viết duy nhất dưới dạng: d n+d-i-1 PI,M(n) = ( 1)i ei (I,M) , (1) i 0 d-i d n+d-i-1 Pq,I,M(n) = ( 1)i ei (q,I,M) , (2) i 0 d-ivà d-1 n+d-i-1 p Fq,I (M) (n) = ( 1)i ei (Fq,I (M) . i 0 d-i-1 Khi đó các số nguyên ei(I,M) được gọi là hệ số Hilbert thứ i của M ứng với I; cácsố nguyên ei(q,I,M) được gọi là hệ số Hilbert thứ i của M ứng với q và I; các số nguyênei(Fq,I(M)) được gọi là hệ số Hilbert thứ i nón phân thớ Fq,I(M). Bổ đề 2.3. ([9], xem tr. 80) Cho M là A-môđun hữu hạn sinh với dim(M) = d 1.Gi ...