Một số bài toán lượng giác hay và khó

Nguồn gốc của lượng giác được tìm thấy trong các nền văn minh của người Ai Cập, Babylon và nền văn minh lưu vực sông Ấn cổ đại từ trên 3000 năm trước. Các nhà toán học Ấn Độ cổ đại là những người tiên phong trong việc sử dụng tính toán các ẩn số đại số để sử dụng trong các tính toán thiên văn bằng lượng giác. Lagadha là nhà toán học duy nhất mà ngày nay người ta biết đã sử dụng hình học và lượng giác trong tính toán thiên văn học trong cuốn sách của...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một số bài toán lượng giác hay và khó SỞGIÁODỤCVÀĐÀOTẠOTỈNHPHÚYÊN TrườngTHPTChuyênLươngVănChánh ĐỀTÀIKHOAHỌC: Mộtsốbàitoánlượnggiác hayvàkhó Tổ4 Lớp: Toán2 Niênkhoá:2008 –2011 Tp.TuyHoà,tháng1năm2010Mụclục:ChươngI:BiếnđổilượnggiácChươngII: ỨngdụngcủalượnggiáctronghìnhhọcChươngIII:PhươngtrìnhlượnggiácChươngIV:BấtphươngtrìnhlượnggiácChươngV:Bấtđẳngthứclượnggiác 1 CHƯƠNGI: BIẾNĐỔILƯỢNGGIÁC a a a a aBài1:Cho S n = tan 2 tan a + 2 tan 2 2 tan + ... +2 n-1 tan 2 n tan n-1 .Tìm limS n 2 2 2 2 2 n ®¥ Giải: 2 tanx Tacó tan 2x= 1 -tan2 x Û tan 2 x - tan 2 x tan 2 x =2 tanx Û tan 2 x tan 2 x = tan 2 x -2 tanx (1) Thayvào(1)rồicộngvếtheovế,ta được: ì 2 a a ï tan 2 tan a = tan a- 2 tan2 ï ï2 tan 2 a tan a = 2 tan a - 22 tan a ï 22 2 2 22 ï a a a a ï + í22 tan 2 3 tan 2 = 22 tan 2 - 23 tan 3 ï 2 2 2 2 ï.......................................................... ï ï2n-1 tan 2 a tan a = 2n -1 tan a - 2n tan a ï 2n 2n -1 2n -1 n 2 ï î a S n = ta n a - 2 n ta n 2n æ a ö Þ lim S n = tan a - lim ç 2n tan n ÷ n ®¥ n ®¥ è 2 ø S n = tana -a x x xBài2: Cho Pn =cos cos 2 ....cos n .Tìm limPn 2 2 2 n ®¥ Giải: sin 2a Từ sin 2a = 2sin a cos a Þ cosa= 2sinaì xï s in x s in x x 2ï cos = x , c o s 2 = xï 2 2 sin 2 2 s i n 2ï 2 2ï xï s in 2ï x 2 , ........................í c o s 3 = xï 2 s in 3ï 2ï xï s in n- 1 x 2ï c o s n =ï 2 x 2 s i n nïî 2 2 sinxNhânvếtheovếtađược: P = n x 2n sin n 2 sinx Þ lim P =lim n n ®¥ n ®¥ n x 2 sin n 2 sinx sin x = lim = ®¥ æ ...