Một số bài toán số học trong các kì thi olympic toán học

Tài liệu tham khảo về Một số bài toán số học trong các kì thi olympic toán học...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một số bài toán số học trong các kì thi olympic toán học www.laisac.page.tl MỘTSỐBÀITOÁNSỐHỌCTRONGCÁCK TH MỘT SỐ BÀITOÁN SỐ HỌ TRONG CÁCKÌ THI M S B T S À Á CT C R N Á ÌT I OLYMPICTOÁN OLYMPICTOÁN L M I Y P T N Á TrầnXuânĐáng–NamĐịnh TrongkỳthiOlympictoánQuốctếlầnthứ49đượctổchứctạiTâyBanNhacóbàitoánsau(bàitoán1)màtácgiảcủanólàKestutisCesnavicius(Lithuania)(Litva). Bàitoán1:Chứngminhrằngtồntạivôsốsốnguyêndươngnsaocho n 2 +1 cóướcnguyêntốlớnhơn 2n + 2 n Bàitoánnàylàbàitoánkhónhấtcủangàythithứnhất.Lờigiảicủabàitoán1đượcpháttriểntừlờigiảicủacácbàitoánđơngiảnhơnsauđây: Bàitoán2:Chứngminhrằngtồntạivôsốsốnguyêndươngnsaochon +1khônglàước 2củan!.(ĐềthichọnđộituyểncủaInđônêxiadựthiToánQuốctếnăm2009). Lờigiảicủabàitoán2: * Bổđề:Tồntạivôsốsốnguyêntốdạng4k+1(k Î N ) * Chứngminh:GọiAlàtậphợpgồmtấtcácsốnguyêntốdạng4k+1(k Î N ),KhiđóA ¹ rỗngvì5 Î A.GiảsửAlàtậphữuhạn.Gọip0 làphântửlớnnhấtcủaA Þ p0 ³ 5. Giảsửp1,p2 …pn làtấtcảcácsốnguyêntốnhỏhơnp0. *đặt a = 4 p02 p12 ... pn +1khiđ?a Î N ,a>1.Giảsửqlàướcnguyêntốcủaa 2 2Þ q ¹ pi , i Î {0,1,2…,n}.Mặtkhác(2p0p1…pn) +1 º 0(modq)Þ 1làsốchínhphương(modq)vàqlẻ. q -1 æ - 1ö q- 1 *Suyra ç ÷ = 1Þ (-1) 2 = 1Þ :2Þ q º1mod4 Þ qcódạng4k+1(k Î N ).Mặtkhác ( ) ç q ÷ 2 èøq>p0.Điềunàymâuthuẫnvớicáchchọnp0.Vậytồntạivôsốsốnguyêntốdạng4k+1 *(k Î N ). *Chúngtachuyểnsangviệcgiảibàitoán2.Giảsửplàsốnguyêntốdạng4k+1(k Î N ) p-1 æ - 1öÞç ÷ = ( 1) 2 = 1Þ -1 làsốchínhphương(modp) ç p ÷ - èøÞ $ np Î {0,1,2….,p 1}saocho n 2 º-1(modp Þ n2 +1:pvànp!khôngchiahếtchop ® ) p pnp !khôngchiahếtcho n2 +1.Tacó: n2 +1 ³ p Þ np ³ p-1 .Vìtồntạivôsốsốnguyêntốp p pdạng4k+1(k Î N )nêntồntạivôsốsốnguyêndươngnsaochon +1khônglàướccủan! * 2 Bàitoán3: Chứngminhrằngtồntạivôsốsốnguyêndươngnsaochoướcnguyêntốlớnnhấtcủan +1 lớnhơn2n 2 (TạpchíAnimathcủaPhápnăm2006) * Lờigiảicủabàitoán3: Giảsửplàsốnguyêntốdạng4k+1(k Î N ) p 1 - æ - 1öSuyra ç ÷ = ( 1) 2 = 1Þ -1 làsốchínhphương(modp) - ç p ÷ èø 2Þ $ x Î {0,1,2,…,p1}saochox º 1(modp).Tacó:q º (pq) (modp)(q Î Z) 2 2 p-1 2Þ $ q Î {0,1,2,…, }saochoq º 1(modp). 2 p-1 p+1 Thậtvậygiảsử 4 p+1- 3 Þ p>2m+ 2 .Vìm +1 M pnênm ³ p1 Þ m ³ 2 2 Vậy a > p-1 .Vì ...