Một số bất đẳng thức cho quá trình ngẫu nhiên lồi theo cặp tựa trung bình số học khoa học

Trong bài viết này, đề xuất một khái niệm mở rộng cho quá trình ngẫu nhiên lồi mới, cụ thể đó là quá trình ngẫu nhiên lồi theo cặp tựa trung bình số học. Hơn nữa, bài viết còn thiết lập một bất đẳng thức loại Hermite-Hadamard cho quá trình ngẫu nhiên. Kết quả mới mở rộng một số kết quả đã có trong hướng nghiên cứu này
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một số bất đẳng thức cho quá trình ngẫu nhiên lồi theo cặp tựa trung bình số học khoa học KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN 20. MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CHO QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN LỒI THEO CẶP TỰA TRUNG BÌNH SỐ HỌC TS. Trần Đình Phụng* Tóm tắt Trong bài viết này, tác giả đề xuất một khái niệm mở rộng cho quá trình ngẫu nhiên lồimới, cụ thể đó là quá trình ngẫu nhiên lồi theo cặp tựa trung bình số học. Hơn nữa, bài viếtcòn thiết lập một bất đẳng thức loại Hermite-Hadamard cho quá trình ngẫu nhiên. Kết quảmới mở rộng một số kết quả đã có trong hướng nghiên cứu này. Từ khóa: Bất đẳng thức loại Hermite-Hadamard, quá trình ngẫu nhiên, tựa trung bình số học 1. Giới thiệu Cho hàm f lồi trên [a, b], khi đó: . Bất đẳng thức trên được biết đến là bất đẳng thức Hermite-Hadamard.* Bộ môn Toán - Thống kê, Khoa Kinh tế - Luật, Trường Đại học Tài chính - Marketing 167KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌCĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNGCHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Dạng xác suất của bất đẳng thức trên có dạng: , trong đólà kỳ vọng toán, lần lượt là các biến ngẫu nhiên có phân phối đều trên [a, b] và {a, b}. Khái niệm hàm lồi không chỉ đóng một vai trò quan trọng trong Giải tích toán học màđược sử dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khác như: Lý thuyết xác suất và thống kê, Toán kinhtế, Bất đẳng thức. Khái niệm này đã thực sự cho thấy vị trí quan trọng trong Toán học ngàynay, bằng chứng là một lượng lớn công trình về hàm lồi đã được công bố, trong đó bất đẳngthức Hermite-Hadamard là một trong những kết quả cơ bản nhất đặc trưng cho tính chất hìnhhọc của hàm lồi cũng đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và thiết lập các kếtquả mới (xem tài liệu [2, 3, 4]). Trong hướng nghiên cứu về bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho hàm lồi có nhiều sựquan tâm dành cho việc phát triển các kết quả cho các lớp hàm lồi mở rộng: log-lồi, lồi điềuhòa, lồi mạnh, log lồi điều hòa, r-lồi… nhằm tìm kiếm các ứng dụng trực tiếp hoặc gián tiếpđến các lĩnh vực của Toán học, Xác suất, Tối ưu… Năm 1980, Nikodem [6] đã giới thiệu khái niệm quá trình ngẫu nhiên lồi và nghiêncứu tính chất của chúng. Năm 1992, Skowronski [7] thu được thêm một số kết quả về quátrình ngẫu nhiên lồi mà tổng quát một số tính chất tương ứng đã biết của hàm lồi. Gần đây cónhiều nghiên cứu về một số loại quá trình ngẫu nhiên lồi khác nhau và bất đẳng thức Hermite- Hadamard đối với các quá trình ngẫu nhiên lồi đó (xem tài liệu [5, 8, 9]). Mục đích củabài viết này là mở rộng bất đẳng thức Hermite -Hadamard cổ điển đối với các quá trình ngẫunhiên lồi mở rộng mà chúng tôi gọi là quá trình ngẫu nhiên lồi theo cặp tựa trung bình số học.Kết quả mới này tổng quát một số kết quả gần đây trong hướng nghiên cứu này. 2. Nội dung nghiên cứu Cho là một không gian xác suất tùy ý và là một biến ngẫu nhiên.Một hàm được gọi là quá trình ngẫu nhiên nếu với mọi , thì là mộtbiến ngẫu nhiên. Quá trình ngẫu nhiên được gọi là lồi nếu với mọi và , tacó bất đẳng thức: . Nếu bất đẳng thức trên thỏa mãn với thì ta nói quá trình ngẫu nhiên làJensen-lồi. Quá trình ngẫu nhiên được gọi là: • Liên tục theo xác suất trên nếu với mọi Tức là: với mọi .168 KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN • Mean-square-liên tục trên nếu với mọi Rõ ràng, quá trình ngẫu nhiên Mean-square-liên tục thì liên tục theo xác suất, nhưngđiều ngược lại không đúng. Cho quá trình ngẫu nhiên sao cho và và là một phân hoạch của đoạ ...