Một số dạng toán về bất phương trình hàm

Nội dung chính của bài viết "Một số dạng toán về bất phương trình hàm" cung cấp một số kiến thức như: Bất phương trình hàm với cặp biến tự do và bất phương trình hàm dạng cộng – nhân tính. Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo chi tiết nội dung bài viết này.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một số dạng toán về bất phương trình hàm MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM Trịnh Đào Chiến (Trường Cao Đẳng Sư Phạm Gia Lai)Các bài toán về giải bất phương trình hàm thường là những bài toán khó. Trong những năm gầnđây, các dạng toán loại này đôi khi xuất hiện trong các đề thi chọn học sinh giỏi các cấp vàOlympic Toán quốc tế. Chẳng hạn Bài toán 3, trong IMO 2011:Giả sử f W R ! R là một hàm giá trị thực xác định trên tập các số thực và thỏa mãn f .x C y/ yf .x/ C f .f .x//với mọi số thực x và y: Chứng minh rằng f .x/ D 0 với mọi x 0:Bài viết này đề cập đến phương pháp giải một lớp các bất phương trình hàm dạng cơ bản. Đâylà một trong những phương pháp có thể tham khảo để tìm tòi lời giải cho một bài toán về bấtphương trình hàm.1. Bất phương trình hàm với cặp biến tự doXét hàm biến số thực f thỏa mãn các tính chất sau f .x C y/ f .x/f .y/:Ta có thể tìm được hàm f thỏa mãn tính chất trên nếu f thỏa mãn thêm một số điều kiện banđầu nào đó, chẳng hạn (xem [1]) f .x/ ax ; a > 0:Để giải bài toán trên, trước hết ta cần giải các bài toán sauBài toán 32. Xác định các hàm số f .x/ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau i) f .x C y/ f .x/ C f .y/ với mọi x; y 2 RI ii) f .x/ 0 với mọi x 2 R:Chứng minh. Từ các điều kiện của bài toán, thay x D 0 ta thu được f .0/ 2f .0/ và f .0/ 0.Do đó f .0/ D 0. Vậy nên 0 D f .0/ D f .x C . x// f .x/ C f . x/ 0:Suy ra f .x/ 0: Thử lại, ta thấy hàm số f .x/ 0 thỏa mãn điều kiện bài ra. 133 Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016Bài toán 33. Cho trước a 2 R. Xác định các hàm số f .x/ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau i) f .x C y/ f .x/ C f .y/ với mọi x; y 2 R; ii) f .x/ ax với mọi x 2 R.Chứng minh. Xét hàm số g.x/ D ax. Để ý rằng g.x C y/ D g.x/ C g.y/. Đặt f .x/ Dg.x/ C h.x/. Khi đó, ta thu được các điều kiện i) h.x C y/ h.x/ C h.y/ với mọi x; y 2 RI ii) h.x/ 0 với mọi x 2 R:Theo Bài toán 1, ta có h.x/ 0 hay f .x/ D ax. Thử lại, ta thấy hàm số f .x/ D ax thỏa mãnđiều kiện bài ra.Bây giờ, ta trở lại bài toán đã nêu ban đầu.Bài toán 34. Cho trước a > 0. Xác định các hàm số f .x/ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau i) f .x C y/ f .x/f .y/ với mọi x; y 2 R; ii) f .x/ ax với mọi x 2 R.Chứng minh. Nhận xét rằng f .x/ > 0 với mọi x 2 R. Vậy ta có thể logarit hóa hai vế các bấtđẳng thức của điều kiện đã cho i) ln f .x C y/ ln f .x/ C ln f .y/ với mọi x; y 2 R; ii) ln f .x/ .ln a/x với mọi x 2 R.Đặt ln f .x/ D .x/, ta thu được i) .x C y/ .x/ C .y/ với mọi x; y 2 R; ii) .x/ .ln a/x với mọi x 2 R.Ta nhận được dạng của Bài toán 2. Vậy .x/ D .ln a/x. Suy ra f .x/ D ax . Thử lại, ta thấy hàmsố f .x/ D ax thỏa mãn điều kiện bài ra.Nhận xét rằng, các bài toán trên vẫn giải được nếu tập xác định R của các hàm số trên được thaybởi một khoảng mở U chứa 0 sao cho với mọi x; y 2 U thì x C y 2 U .Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra: Trong Bài toán 3, có thể thay hàm số g.x/ D ax bởi hàm sốnào để bài toán cũng có nghiệm không tầm thường?Nhận xét rằng Với 0 < a < 1 thì ax > 1 C x, 8x < 0 và ax 1 C x, 8x 0; Với a 1 thì ax > 1 C x, 8x < 0; ax 1 C x, 8x 2 Œ0; 1/ và ax 1 C x, 8x 1.Từ đó, một cách tự nhiên, tiếp theo ta xét hàm số g.x/ D x C 1. Ta có bài toán sau 134Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016Bài toán 35. Giả sử U là khoảng mở chứa 0 sao cho với mọi x; y 2 U thì x C y 2 U . Xác địnhcác hàm số f W U ! R thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau i) f .x C y/ f .x/f .y/ với mọi x; y 2 U ; ii) f .x/ 1 C x với mọi x 2 U .Chứng minh. Bởi i), ta có x x x f .x/ D f C f2 0; 8x 2 U: 2 2 2Nếu f .x0 / D 0, thì xx0 0 2 x0 0 D f .x0 / D f C f : x x 2 2 2 0 0Do đó f D 0: Quy nạp, ta có f n D 0 với mỗi số nguyên dương n. Tuy nhiên, từ ii) 2 2suy ra rằng rằng f .x/ > 0 với mọi x 2 U và x gần 0. Do đó điều trên là mâu thuẫn. Vậy f .x/ > 0; 8x 2 U:Tiếp theo, từ i) và ii), ta sẽ thấy rằng f khả vi tại mỗi điểm x 2 U và f 0 .x/ D f .x/. Thật vậy,từ i) và ii), với h > 0 đủ nhỏ, ta có f .x C h/ f .x/ f .x/f .h/ f .x/ D Œf .h/ 1f .x/ hf .x/:Do đó f .x C h/ f .x/ f .x/: hMặt khác, cũng từ i) và ii), với h > 0 đủ nhỏ, ta có f .x/ D f .x C h h/ f .x C h/f . h/ .1 h/f .x C h/:Suy ra .1 h/f .x/ C hf .x/ .1 h/f .x C h/:Do đó hf .x/ .1 h/Œf .x C h/ f .x/;hay f .x C h/ f .x/ f .x/ : h 1 hVậy, với h > 0 đủ nhỏ, ta có f .x C h/ f .x/ f .x/ f .x/ : ...