MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC BẬC CAO MỘT ẨN

tài liệu tham khảo:MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC BẬC CAO MỘT ẨN
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC BẬC CAO MỘT ẨN M t s phương pháp gi i phương trình a th c b c cao m t n – Vũ ình DũngCHUYÊN B I DƯ NG HS KHÁ , GI I MÔN TOÁN M TS PHƯƠNG PHÁP GI I PHƯƠNG TRÌNH A TH C B C CAO M T N Hơn b n nghìn năm trư c ây, ngư i Hi L p ã bi t cách gi i các phương trìnhb c nh t và b c haiPhương trình b c 3 - Năm 1526 nhà toán h c I-ta-li-a là Phe-rô m i tìm ư c cách gi i phương trình b c 3 d ng x3 + ax = b v i a , b > 0 - Năm 1535 nhà toán h c Tac-ta-li-a ã tìm ư c cách gi i t ng quát phương trình x3 + ax + b = 0 v i m i giá tr c a a , b - Năm 1545 nhà toán h c Các- a-nô ã công b công th c tìm nghi m c a phương trình b c baPhương trình b c 4 Năm 1545, nhà toán h c I-ta-li-a là phe-ra-ri ã tìm ra cách gi i t ng quátphương trình b c b nPhương trình b c cao hơn 4 Trong các th k 17 và 18 các nhà toán h c ã m t r t nhi u công s c tìm cáchgi i t ng quát phương trình b c 5 , b c 6 nhưng không thành công n u th k 19 thì hai nhà toán h c ngu i Na-uy là A-ben và nhà toán h cngu i Pháp là Ga-loa ã gi i quy t v n có th gi i phương trình b c cao hơn b nb ng căn th c hay không. - A-ben ã ch ng minh ư c r ng các phương trình b c cao hơn b n dư i d ng t ng quát không th gi i ư c b ng căn th c . T c là không th bi u th ư c các nghi m c a phương trình ó b ng các phép toán : c ng , tr , nhân , chia , lu th a và khai căn - Còn Ga-loa ch ra ư c d u hi u nh n bi t m t phương trình b c cao hơn b n có th gi i ư c b ng căn th c hay không , b ng m t lý thuy t c áo mà sau này mang tên ông : lý thuy t nhóm 1 M t s phương pháp gi i phương trình a th c b c cao m t n – Vũ ình Dũng V y là các phương trình b c cao hơn b n dư i d ng t ng không th gi i ư cb ng căn th c M t khác i v i h c sinh l p 9 ã bi t gi i phương trình b c nh t và b c haidư i d ng t ng quát . Còn cách gi i t ng quát c a phuơng trình b c ba và b c b n thìph c t p i v i h c sinh ph thông Như v y không có phương pháp chung gi i t t c các phương trình b c caomà ph i căn c vào t ng phương trình , tìm các gi i thích h p Sau ây xin c p n m t s phương pháp riêng gi i phương trình a th cb c cao hơn 2, nh m b i dư ng h c sinh khá gi i c a l p 9 M TS PHƯƠNG PHÁP GI I PHƯƠNG TRÌNH ĐA TH C B C CAO I. Phương pháp bi n i v phương trình tích. M t trong các phương pháp riêng gi i phương trình a th c b c cao là phân tích a th c thành nhân t có b c th p hơn ưa vi c gi i phương trình ã cho v gi im t phương trình tích 5x3 - 6x2 - 2x3 + 3 = 0Ví d 1: Gi i phương trình sau: Gi iNh n xét : N u phương trình trên có nghi m nguyên thì s này ph i là ư c c a 3. Tath y a th c 5x3 - 6x2 - 2x3 + 3 có nghi m nguyên x = 1 . V y khi phân tích a th cnày thành nhân t thì a th c này ch a nhân t x - 1.5x3 - 6x2 - 2x3 + 3 = 0 ⇔ 5x3 - 5x2 - x2 + x - 3x + 3 = 0 ⇔ (x - 1)(x2 - x - 3) = 0⇔ x- 1 = 0 ho c x2 - x - 3 = 0 1 + 13 1 − 13x2 - x - 3 = 0 ⇔ x = ho c x = 2 2Phưong trình V y phương trình ã cho có ba nghi m 1 + 13 1 − 13 x1 = 1 x2 = x3 = 2 2 x4 + 12x3 + 32x2 - 8x - 4 = 0Ví d 2: Gi i phương trình : 2 M t s phương pháp gi i phương trình a th c b c cao m t n – Vũ ình Dũng Gi iNh n xét : Ta th y phương trình này không có nghi m nguyên x4 + 12x3 + 32x2 - 8x - 4 = 0 ⇔ (x4 + 12x3 + 36x2) - (4x2 + 8x + 4) = 0⇔ (x2 + 6x)2 - (2x + 2)2 = 0 ⇔ (x2 + 8x +2)(x2 + 4x -2) = 0⇔ x2 + 8x + 2 = 0 ho c x2 + 4x - 2 = 0x2 + 8x + 2 = 0 ⇔ x = − 4 + 14 ho c x = − 4 − 14x2 + 4x - 2 = 0 ⇔ x = − 2 + 6 ho c x = − 2 − 6V y phương trình ã cho có b n nghi m x1 = − 4 + 14 ; x2 = − 4 − 14 ; x3 = − 2 + 6 ; x4 = − 2 − 6II. Phương pháp t n ph (x2 + x + 2)2 - 12(x2 + x + 2) + 35 = 0Ví d 3 : Gi i phương trình Gi i t x2 + x + 2 = y . Ta có phương trình y2 - 12y + 35 = 0 ⇔ y = 5 ho c y = 7 − 1 + 13 − 1 − 13V i y = 5 ⇔ x2 + x - 3 = 0 ⇔ x = ho c x = 2 2 − 1 + 21 − 1 − 21V i y = 7 ⇔ x2 + x -5 = 0 ⇔ x = ho c x = 2 2V y phương trình ã cho có b n nghi m − 1 + 13 − 1 − 13 − 1 + 21 − 1 − 21 x ...