Một số phương pháp giải phương trình hàm thường dùng

Tài liệu tham khảo dành cho giáo viên, sinh viên chuyên môn toán - Các phương pháp giải phương trình hàm thường dùng.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một số phương pháp giải phương trình hàm thường dùng CÁC PHƯƠNG PHÁP GI I PHƯƠNG TRÌNH HÀM THƯ NG DÙNGPhương pháp 1: H s b t ñ nh.Nguyên t c chung:+) D a vào ñi u ki n bài toán, xác ñ nh ñư c d ng c a f(x), thư ng là f(x) = ax + b ho cf(x) = ax2+ bx + c.+) ð ng nh t h s ñ tìm f(x).+) Ch ng minh r ng m i h s khác c a f(x) ñ u không th a mãn ñi u ki n bài toán.Ví d 1: Tìm f : R → R th a mãn: f ( x f ( y ) + x ) = xy + f ( x ) ∀x, y ∈ R (1) .L i gi i: x = 1Thay  vào (18) ta ñư c: f ( f ( y ) + 1) = y + f (1) ( a ) . y∈R ( )Thay y = − f (1) − 1 vào (a) suy ra: f f ( − f (1) − 1) + 1 = −1 . ð t a = f ( − f (1) − 1) + 1 tañư c: f ( a ) = −1 . y = aCh n  ta ñư c: f ( x f ( a ) + x ) = xa + f ( x ) ⇒ xa + f ( x ) = f ( 0 ) . x ∈ Rð t f ( 0 ) = b ⇒ f ( x ) = −a x + b . Th vào (1) và ñ ng nh t h s ta ñư c: a = 1 a 2 = 1   f ( x) = x  ⇒   a = −1 ⇒   . − a b − a = −a   f ( x) = −x  b = 0V y có hai hàm s c n tìm là f ( x ) = x và f ( x ) = − x .Ví d 2: Tìm f : R → R th a mãn: f ( f ( x ) + y ) = y f ( x − f ( y ) ) ∀x, y ∈ R ( 2 ) .L i gi i:Cho y = 0; x ∈ R : (2) ⇒ f ( f ( x ) ) = 0 ∀x ∈ R ( a ) . ( )Cho x = f ( y ) : (2) ⇒ f f ( f ( y ) ) + y = y f ( 0 ) ( a ) .( a ) + ( a ) ⇒ f ( y ) = y f ( 0) . ð t f ( 0 ) = a ⇒ f ( y ) = ay ∀y ∈ R . Th l i (2) ta ñư c: a 2 ( x 2 + y 2 ) + a ( y − x y ) = 0 ∀x, y ∈ R ⇔ a = 0 ⇒ f ( x ) = 0 ∀x ∈ R . V y có duy nh t hàm s f ( x ) = 0 th a mãn bài toán.Ví d 3: Tìm f , g : R → R th a mãn: 2 f ( x ) − g ( x ) = f ( y ) − y ∀x, y ∈ R  (a)  .  f ( x) g ( x) ≥ x +1  ∀x ∈ R (b )L i gi i:Cho x = y ∈ R khi ñó ( a ) ⇒ f ( x ) = g ( x ) − x .Thay l i (a) ta ñư c: 1g ( x ) = 2 x − 2 y + g ( y ) ∀x, y ∈ R (c).Cho y = 0; x ∈ R : t (c) ta ñư c: g ( x ) = 2 x + g ( 0 ) . ð t g ( 0 ) = a ta ñư c: g ( x ) = 2 x + a , f ( x ) = x + a . Th vào (a), (b) ta ñư c: 2 x + a = 2 x + a  (a), (b) ⇔  ( ∀x ∈ R ) ⇔ 2 x 2 + ( 3a − 1) x + a 2 − 1 ≥ 0 ∀x ∈ R (  x + a )( 2 x + a ) ≥ x + 1 2 ⇔ ( a − 3) ≤ 0 ⇔ a = 3 . V y f ( x ) = x + 3 ; g ( x ) = 2 x + 3 .Ví d 4: ða th c f(x) xác ñ nh v i ∀x ∈ ℝ và th a mãn ñi u ki n: 2 f ( x ) + f (1 − x ) = x 2 , ∀x ∈ ℝ (1). Tìm f(x).L i gi i:Ta nh n th y v trái c a bi u th c dư i d u f là b c nh t: x, 1 – x v ph i là b c hai x2.V y f(x) ph i có d ng: f(x) = ax2 + bx + c.Khi ñó (1) tr thành: 2(ax2 + bx + c) + a(1 – x)2 + b(1 – x) + c = x2 ∀x ∈ ℝ do ñó:3ax2 + (b – 2a)x + a + b + 3c = x2, ∀x ∈ ℝ  1 a = 3 3a = 1    2ð ng nh t các h s , ta thu ñư c: b − 2a = 0 ⇔ b = a + b + 3c = 0  3   1 c = − 3  1V y: f ( x) = ( x 2 + 2 x − 1) 3Th l i ta th y hi n nhiên f(x) th a mãn ñi u ki n bài toán.Ta ph i ch ng minh m i hàm s khác f(x) s không th a mãn ñi u ki n bài toán:Th t v y gi s còn hàm s g(x) khác f(x) th a mãn ñi u ki n bài toán.Do f(x) không trùng v i g(x) nên ∃x0 ∈ ℝ : g ( x0 ) ≠ f ( x0 ) .Do g(x) th a mãn ñi u ki n bài toán nên: 2 g ( x) + g (1 − x) = x 2 , ∀x ∈ ℝThay x b i x0 ta ñư c: 2 g ( x0 ) + g (1 − x0 ) = x0 2Thay x b i 1 –x0 ta ñư c: 2 g (1 − x0 ) + g ( x0 ) = (1 − x0 ) 2 1T hai h th c này ta ñư c: g ( x0 ) = ( x0 2 + 2 x0 − 1) = f ( x0 ) 3ði u này mâu thu n v i g ( x0 ) ≠ f ( x0 ) 1V y phương trình có nghi m duy nh t là f ( x) = ( x 2 + 2 x − 1) 3 2Nh n xét: N u ta ch d ñoán f(x) có d ng nào ñó thì ph i ch ng minh s duy nh t c a cáchàm s tìm ñư c.Ví d 5: Hàm s y = f(x) xác ñ nh, liên t c v i ∀x ∈ ℝ và th a mãn ñi u ki n: f(f(x)) = f(x) + x, ∀x ∈ ℝHãy tìm hai hàm s như th .L i gi i:Ta vi t phương trình ñã cho dư i d ng f(f(x)) – f(x) = x (1).V ph i c a phương trình là m t hàm s tuy n tí ...