Một số phương pháp tính giới hạn của dãy lặp

Bài viết "Một số phương pháp tính giới hạn của dãy lặp" đưa ra các phương pháp tìm số hạng tổng quát, tìm ra quy luật chung để dự đoán số hạng tổng quát, chứng minh số hạng tổng quát đó là đúng (thường là dùng phương pháp quy nạp toán học); phương pháp sử dụng định lý Weierstrass; phương pháp sử dụng ánh xạ co,... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài viết!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một số phương pháp tính giới hạn của dãy lặp Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY LẶP Trịnh Văn Hoa Trường THPT Chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa1 Phương pháp tìm số hạng tổng quát1.1 Các bước thực hiện - Xác định một vài số hạng đầu tiên - Tìm ra quy luật chung để dự đoán số hạng tổng quát - Chứng minh số hạng tổng quát đó là đúng (thường là dùng phương pháp quynạp toán học) - Tính giới hạn dựa vào số hạng tổng quát. √Ví dụ 1.1. Cho dãy số (un ) xác định bởi u√ 1 = 2 . Tìm lim un un+1 = un + 2, n ≥ 1 n→+∞ √ π √ πLời giải. Ta có: u1 = 2 = 2 cos 2 . u2 = 2 + u1 ⇔ u22 = 2 + u1 = 2 1 + cos = 2 4 π π π4cos2 ⇒ u2 = 2 cos 3 Dự đoán un = 2 cos n+1 Dễ dàng dùng phương pháp quy 8 2 2 πnạp toán học chứng minh được un = 2 cos n+1 . Suy ra lim un = 2. 2 n→+∞Nhận xét 1.1. Bài này còn có thể giải theo cách khác được thể hiện trong ví dụ ở phầnsau. Đôi khi việc dự đoán số hạng tổng quát khó khăn, ta có thể biến đổi biểu thức phứctạp xn+1 = f ( xn ) thành biểu thức đơn giản hơn thông qua phép đăt yn = g( xn ). Sauđó tìm yn và quay lại tìm xn . Ta sẽ thực hiện điều này qua ví dụ sau: dụ 1.2 (Dựa vào đề thi HSG Hà Nội 2012 - 2013). Cho dãy số (un ) xác định bởiVí u1 = 2 u2n . Chứng minh rằng dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn, u n +1 = , n ≥ 1, n ∈ N 2un − 1 1 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019tìm giới hạn đó. u2n 1 2 1 1 1 2Lời giải. Từ un+1 = ⇒ = − ⇒ −1 = − − +1 2un − 1 u n +1 un u2n u n +1 u2n un 2 1 1 1 1 1⇒ −1 = − − 1 Đặt vn = − 1 ⇒ v1 = − 1 = − và vn+1 = −v2n . u n +1 un un 2 2 n −1Suy ra v1 = −2 , v2 = −2 , v3 = −2 , v4 = −2 Giả sử vn = −2−2 , n ≥ 4 − 1 − 2 − 4 − 8 n −1 2 n n −1(giả thiết quy nạp) ⇒ vn+1 = − 2 − 2 = −2−2 . Do đó vn = −2−2 , ∀n. n −1 n −1 1 1 1 22 22 Mà vn = − 1 ⇒ un = = n −1 = n −1 nên un = n−1 Ta un 1 + vn 1 − 2−2 22 − 1 22 − 1 n −1 22 1có lim un = lim = lim = 1. Vậy dãy số đã cho có giới hạn n→+∞ n→+∞ 22n−1 − 1 n→+∞ 1 1 − n −1 22là 1.Nhận xét 1.2. Bài này còn có thể giải theo cách khác được thể hiện trong Ví dụ ở phầnsau.1.2 Bài tập tương tự ( π x1 = 2 cosBài 1.1. Cho dãy số (xn) xác định bởi: 9 . xn+1 = 3xn − 1 Tìm lim xn . n→+∞ 1Cách giải. Đặt vn = xn − 2 u1 = 2Bài 1.2. Cho dãy số (un ) xác định bởi công thức: un = 5un−1 + 6; n ≥ 2 . Tìm lim un . n→+∞ 3Cách giải. Đặt vn = un + . ...