Phương pháp tìm giới hạn dãy số cho bởi công thức truy hồi bằng đồ thị hàm số

Bài viết "Phương pháp tìm giới hạn dãy số cho bởi công thức truy hồi bằng đồ thị hàm số" trình bày phương pháp tìm giới hạn của dãy số truy hồi dựa vào đồ thị các hàm số g(x) = x và f (x) là hàm số thu được từ công thức truy hồi của dãy. Nếu dãy hội tụ thì giới hạn của nó là nghiệm của phương trình f (x) = g (x) giao điểm của đồ thị hai hàm số f (x) và g (x). Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương pháp tìm giới hạn dãy số cho bởi công thức truy hồi bằng đồ thị hàm số PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI BẰNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ Ngô Hùng Vương1 1. Email: vuongnh@tdmu.edu.vn TÓM TẮT Bài viết này trình bày phương pháp tìm giới hạn của dãy số truy hồi dựa vào đồ thị các hàm số g ( x ) = x và f ( x ) là hàm số thu được từ công thức truy hồi của dãy. Nếu dãy hội tụ thì giới hạn của nó là nghiệm của phương trình f ( x ) = g ( x ) (giao điểm của đồ thị hai hàm số f ( x ) và g ( x ) ). Từ khóa: Công thức truy hồi, đồ thị, giới hạn dãy số. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Dãy số và tìm giới hạn dãy số là một trong những kiến thức nền tảng của môn giải tích Toán học ở bậc đại học, tuy nhiên các khái niệm về tính hội tụ và giới hạn của dãy số khá trừu tượng và khó hiểu. Sinh viên, đặc là sinh viên năm thứ nhất gặp nhiều khó khăn khi giải các bài tập có nội dung liên quan đến dãy số cho bởi công thức truy hồi. Các bài tập dạng này thường được giải theo phương pháp giải tích, tuy nhiên phương pháp này đòi hỏi sinh viên ngoài hiểu rõ lý thuyết về dãy số cần nắm chắc các kiến thức toán cơ bản khác như bất đẳng thức và phương pháp quy nạp toán học. Do đó việc tìm ra một phương pháp giải mới để khắc phục các yếu tố trên là hết sức cần thiết. Bài tham luận này trình bày một cách giải khác đối với một số bài toán tìm giới hạn dãy số cho bởi công thức truy hồi, gọi là phương pháp đồ thị. Thông qua đồ thị của hàm số g ( x ) = x và f ( x ) – hàm số nhận được từ công thức truy hồi xn +1 = f ( xn ) , xác định được các số hạng x1 , x2 , , xn , của dãy  x n  . Từ đó biết được dãy  x n  có hội tụ hay không, nếu dãy hội tụ thì giới hạn của dãy có thể là một trong các nghiệm của phương trình f ( x ) = g ( x ) (giao điểm của đồ thị hai hàm số là f ( x ) và g ( x ) ). 2. TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa 1. Một ánh xạ từ tập số tự nhiên vào tập số thực được gọi là một dãy số. (Võ Khắc Thường, 2013) Ký hiệu: x1 , x2 , , xn , hay viết gọn là  x n  . Trong đó ứng với mỗi giá trị n số xn được gọi là số hạng thứ n của dãy. 650 Ví dụ 1. a) Dãy số  x n  được cho bằng cách liệt kê:  xn  = 3; 4; 27;16; 243; 64;... . Số hạng thứ 5 của dãy là x5 = 243 . ( − 1) n b) Dãy số  x n  được cho bằng công thức của số hạng tổng quát: x n = . Số hạng n ( − 1) 8 1 thứ 8 của dãy là x8 = = . 8 8 x = 1 c) Dãy số  x n  được cho bằng công thức truy hồi:  1  x n +1 = 3 x n − 1 Ta tính được: x 2 = 3 x1 − 1 = 3  1 − 1 = 2 x3 = 3 x 2 − 1 = 3  2 − 1 = 5 x 4 = 3 x3 − 1 = 3  5 − 1 = 14 Định nghĩa 2. Dãy  x n  được gọi là hội tụ nếu tồn tại số l  sao cho    0  n0 = n0 ( )  n  n0 : x n − l   . Khi đó ta nói dãy  x n  có giới hạn và giới hạn này bằng l , ký hiệu: lim x n = l hay xn → l khi n →  . (Архипов Г.И. và nnk., 2004) n→  Định nghĩa 3. Dãy  x n  được gọi là phân kỳ nếu với mọi c  0 chỉ có hữu hạn các phần tử của dãy thỏa mãn xn  c . Nói cách khác:  c  0  n0 = n0 ( c )  n  n 0 : x n  c . Khi đó ta nói dãy  x n  có giới hạn ở vô cùng và được ký hiệu như sau: lim x n =  hay xn →  khi n →  . (Архипов Г.И. và nnk., 2004) n→  Định lý 1 (định lý Weierstrass). Dãy  x n  đơn điệu tăng và bị chặn trên thì hội tụ và lim x n = sup  a n  . n→  Định lý 2. Dãy  x n  đơn điệu giảm và bị chặn dưới thì hội tụ và lim x n = inf  a n  . Bạn n→ đọc có thể xem chứng minh định lý 1 và 2 trong tài liệu tham khảo [1]. Mệnh đề 1. Nếu dãy  x n  cho bởi công thức truy hồi xn +1 = f ( xn ) hội tụ và có giới hạn bằng L thì L = f ( L ) , nói cách khác L là nghiệm của phương trình f ( x ) = x ). Chứng minh. Dãy  x n  hội tụ và có giới hạn bằng L, do đó lim xn +1 = lim xn = L  lim f ( x n ) = L  f ( L ) = L . n → n → n → 651 3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 3.1. Phương pháp tìm giới hạn của dãy số cho bởi công thức truy hồi bằng đồ thị hàm số  x = c (c  ) Giả sử cần tìm giới hạn của dãy truy hồi:  1  x n +1 = f ( x n ), n = 1, 2, 3, Ta có phương pháp giải bài toán trên bằng đồ thị như sau: Bước 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ vuông góc Oxy vẽ đồ thị các hàm số y = x và y = f ( x ) , với f ( x ) là hàm số thu được từ công thức truy hồi xn +1 = f ( xn ) . Bước 2. Tìm giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và đường thẳng y = x bằng cách giải phương trình f ( x ) = g ( x ) . Bước 3. (Xem hình 1) Trên đồ thị hàm số y = f ( x ) lấy điểm M 1 ( x1 ; x2 ) , với x1 = c và x2 = f ( x1 ) . Từ M 1 ( x1 ; x2 ) kẻ đường thẳng song song với trục hoành, cắt đường thẳng y = x tại N 1 ( x2 ; x2 ) . Từ N1 ( x2 ; x2 ) kẻ đường thẳng song song với trục tung, cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) tại M 2 ( x 2 ; x3 ) . Lập lại như trên đối với điểm M 2 ( x2 ; x3 ) ta tìm được các điểm M ...