Một số ứng dụng của vành và đồng cấu vành trong toán phổ thông

Bài viết "Một số ứng dụng của vành và đồng cấu vành trong toán phổ thông" sử dụng một số tính chất của vành Z[ √ d] để khảo sát các dạng toán liên quan đến số học và đa thức nguyên. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một số ứng dụng của vành và đồng cấu vành trong toán phổ thông Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA VÀNH VÀ ĐỒNG CẤU VÀNH TRONG TOÁN PHỔ THÔNG Đàm Văn Nhỉ Trường ĐHSP Hà Nội Tóm tắt nội dung √ Trong bài này chúng tôi sử dụng một số tính chất của vành Z[ d] để khảo sát các dạng toán liên quan đến số học và đa thức nguyên. 1 Phương pháp vành và đồng cấu Nhiều khi để giải một √ bài toán ta phải sử dụng một vành nào đó. Trong mục này chúng tôi sử dụng vành Z[ d]. Mệnh đề 1. Cho số nguyên d > 1 không là số chính phương, Khi đó √ √ (1) Tập Z[ d] = { a + b d| a,√b ∈ Z} cùng √ phép cộng √ và nhân lập √ thành một vành giao hoán với đơn vị và ánh xạ f : Z[ d] → Z[ d], a + b d 7→ a − b d, là một tự đẳng cấu (liên hợp). √ √ (2) Tập Z[ −d] = { a + ib d| a, b ∈√Z} cùng phép √ cộng và nhân √ lập thành một √ vành giao hoán với đơn vị và ánh xạ f : Z[ −d] → Z[ −d], a + ib d 7→ a − ib d, là một tự đẳng cấu (liên hợp). √ √ √ √ Với z = a + b d ∈ Z[ d] và u = a + ib d ∈ Z[ −d] ta ký hiệu N (z) = a2 − db2 , N (u) = a2 + db2 và gọi là chuẩn của z hay u. Khi đó √ √ Hệ quả 1. Với z1 , z2 , . . . , zn ∈ Z[ d] và u1 , u2 , . . . , un ∈ Z[ −d] ta luôn có hệ thức N ( z1 z2 . . . z n ) = N ( z1 ) N ( z2 ) . . . N ( z n ) N ( u1 u2 . . . u n ) = N ( u1 ) N ( u2 ) . . . N ( u n ). √ √ n Chứng minh. Giả sử zk = ak + bk d ∈ Z[ d] với k = 1, . . . , n, và viết tích ∏ ( ak + k =1 √ √ n √ √ bk d) = a + b d. Qua tự đẳng cấu liên hợp ta có ngay ∏ ( ak − bk d) = a − b d. Từ k =1 đây suy ra N (z1 z2 . . . zn ) = N (z1 ) N (z2 ) . . . N (zn ) vì n √ n √ n a2 − b2 d = ∏ ( a k + b k d ) ∏ ( a k − b k d) = ∏ (a2k − bk2 d). k =1 k =1 k =1 Tương tự, ta cũng có N (u1 u2 . . . un ) = N (u1 ) N (u2 ) . . . N (un ). 27 Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018 Mệnh đề 2. Giả thiết p, q là hai số nguyên dương không có nhân tử là số chính phương với √ √ √ √ √ ( p, q) = 1. Khi đó tập Z[ p, q] = { a + b p + c q + d pq| a, b, c, d ∈ Z} cùng phép cộng √ √ √ √ và nhân lập thành một vành giao hoán với đơn vị và các ánh xạ φi : Z[ p, q] → Z[ p, q] : √ √ √ z = a + b p + c q + d pq 7→  √ √ √  φ1 (z) = a + b p + c q + d pq φ (z) = a − b√ p + c√q − d√ pq    2 √ √ √  φ3 (z) = a + b p − c q − d pq φ (z) = a − b√ p − c√q + d√ pq    4 là những tự đẳng cấu. √ √ Với z ∈ Z[ p, q], đặt N (z) = φ1 (z)φ2 (z)φ3 (z)φ4 (z). Khi đó ta có: √ √ Hệ quả 2. Với z1 , z2 ∈ Z[ p, q] có hệ thức N (z1 z2 ) = N (z1 ) N (z2 ). √ √ √ √ Chứng minh. Với z1 , z2 ∈ Z[ p, q] có z1 z2 ∈ Z[ p, q] và φi (z1 z2 ) = φi (z1 )φi (z2 ). 4 4 Vậy N (z1 z2 ) = ∏ φi (z1 ) ∏ φi (z2 ) = N (z1 ) N (z2 ). i =1 i =1 Mệnh đề 3. p, q là hai số nguyên dương không có nhân tử là số chính phương với ( p, q) = 1. √ √
...