Mục đích của việc mô hình hóa và đánh giá đặc tính hoạt động của hệ thống 2

Pr{B}= 1- µΔt Giả thiết Pr{C}= 0, với 1/µ là thời gian phục vụ trung bình (thực tế được phân bố theo hàm mũ. D là sự kiện của 1 hoặc nhiều sự đến AND với sự kiện của 1 hoặc nhiều sự đi trong khoảng Δt Giả sử Pr{D}=0, (2-1) Thực ra, nó chỉ ra rằng khi Δt nhỏ, sự kiện nhân (vừa đi vừa đến) là không xảy ra. Ngoài các giả thiết trên về đặc tính của tiến trình đến và tiến trình phục vụ, còn có thêm các giả thiết sau:...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Mục đích của việc mô hình hóa và đánh giá đặc tính hoạt động của hệ thống 2 Pr{B}= 1- µΔtGiả thiết Pr{C}= 0, với 1/µ là thời gian phục vụ trung bình (thực tế đượcphân bố theo hàm mũ.D là sự kiện của 1 hoặc nhiều sự đến AND với sự kiện của 1 hoặcnhiều sự đi trong khoảng ΔtGiả sử Pr{D}=0, (2-1)Thực ra, nó chỉ ra rằng khi Δt nhỏ, sự kiện nhân (vừa đi vừa đến) làkhông xảy ra.Ngoài các giả thiết trên về đặc tính của tiến trình đến và tiến trình phụcvụ, còn có thêm các giả thiết sau: Tiến trình đến là tiến trình Poisson với tham số λ Khoảng thời gian đến phân bố theo hàm mũ với tham số 1/λ Thời gian phục vụ phân bố theo hàm mũ với tham số 1/µ Tiến trình đến là độc lập với tiến trình phục vụ và ngược lạiĐể phân tích hệ thống hàng đợi cần hiểu khái niệm “Trạng thái hệthống”. Có thể định nghĩa thông qua biến thích hợp mô tả “ Sự pháttriển theo thời gian” của hệ thống hàng đợi. Để thuận tiện cho hệ thốnghàng đợi biến được chọn sẽ là số khách hàng trong hệ thống tại thờiđiểm t. Trạng thái hệ thống tại t = N(t)= Số lượng khách hàng tại thời điểm t (2-2)Tức là : pN(t)=Pr{N(t)=N} (2-3)với pN(t) là ký hiệu của trạng thái thứ N của hệ thống tại thời điểm t. Pr{N(t)=N} là xác suất có N khách hàng trong hệ thống tại thời điểm t.Có nghĩa là có N khách hàng trong hệ thống tại thời điểm t.Sử dụng trạng thái đầu tiên tại t=0, nếu ta có thể tìm pN(t) thì có thểmô tả hệ thống có quan hệ về mặt thời gian như thế nào?Tiếp theo, cho thời gian Δt →0.Xét các trạng thái có thể của hệ thống {0,1,…}(bằng đúng số lượngkhách hàng trong hệ thống) tại thời điểm t ta có thể tìm trạng thái củahệ thống tại thời điểm t+Δt như sau: p0(t+Δt )= p0(t)(1-λΔt)+p1(t)µΔt, N=0. 7 pN(t+Δt )= pN(t)(1-λ Δt-µΔt)+pN-1(t)λΔt+ pN+1(t)µΔt, N>0 (2-4)ta luôn có điều kiện phân bố chuẩn:  p (t )  1, t  0 (2-5) i iTức là chuẩn hóa các pi(t), t≥0, thành các tính chất phân bố rời rạctheo thời gian.Ta có thể tính giới hạn khi Δt →0 và có hệ phương trình vi phân: dp0 (t )  p0 (t )  p1 (t ), N  0 dt dpN (t )  (   ) pN (t )  p N 1 (t )  p N 1 (t ), N  0 dt (2-6)Để giải ta phảo cho điều kiện ban đầu.Giả sử rằng hệ thống hàng đợi bắt đầu tại thời điểm t=0 với N kháchhàng ở trong hệ thống, điều kiện ban đầu được viết như sau: pi(0)=0, với i≠N pN(0)=1, với i=N (2-7)Sử dụng điều kiện ban đầu phù hợp hệ thống có thể được giải đểđược giải pháp thời gian ngắn (transient solution), một giải pháp phứctạp thậm chí cho các hệ đơn giản nhất.Bây giờ ta xét giải pháp trạng thái ổn định (equilibrium solution), t→∞.Khi đó ta có: dp 0 (t )  0, N  0 dt (2-8) dp N (t )  0, N  0 dtVì vậy, p0(t)=p0, với N=0 pN(t)=pN, với N>0 (2-9)Định nghĩa ρ=λ /µ với ngụ ý rằng hệ thống hàng đợi ổn định với ρ 0 (2-10)Gỉa sử tuân theo điều kiện phân bố chuẩn, ta có: pi = ρi (1-ρ ), i=0,1,… (2-11)với giải pháp trạng thái ổn định cho phân bố trạng thái với ρ giải pháp trạng thái ổn định không phụ thuộc điều kiện phân bố ban đầu. Tuy nhiên, nó cần điều kiện rằng tốc độ đến nhỏ hơn tốc độ phục vụ.Các tham số hiệu năng trung bình Số lượng trung bình của khách hàng trong hệ thống Nhắc lại rằng phân bố của trạng thái ổn định cho số lượng khách hàng trong hệ thống khi t→∞. Ví vậy, có thể suy ra số khách hàng trung bình trong hệ thống từ phân bố trạng thái ổn định của hệ thống như sau:    E[ N ]   ipi   i i (1   )  (2-12) 1  i 0 i 0 Kết quả trên không áp dụng cho số trung bình khách hàng trong hệ thống tại một khoảng thời gian ngắn t (arbitrary time t). Số lượng trung bình của khách hàng trong hàng đợi Chú ý rằng số lượng khách hàng trong hàng đợi thì bằng với số lượng khách hàng trong hệ thống trừ đi 1. Sử dụng cùng các giả thiết ta có: 2      E[ N Q ]   (i  1) ...