Mức độ thô nháp của hàm số và ứng dụng

Bài báo đưa ra khái niệm mức độ thô nháp của hàm số f(x) cho trước đối với hệ hàm cơ sở đã cho. Trong bài đã dẫn ra ví dụ ở đó sự hội tụ theo luật của dãy các phân bố thiết kế tới giới hạn, kể cả khi các phân bố đó thuộc loại hỗn hợp (liên tục và rời rạc), cũng chưa đảm bảo sự hội tụ của độ thô nháp. Phân tích lưu lượng nước trung bình ngày đêm cực tiểu của sông Hồng đưa ra độ thô nháp của hàm mô hình đối thuyết và chỉ ra có tồn tại điểm chuyển trạng thái tại quan sát số 44 ứng với năm 1999.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Mức độ thô nháp của hàm số và ứng dụng Kỹ thuật điện tử & Khoa học máy tính Møc ®é th« nh¸p cña hµm sè vµ øng dông PHAN THU HÀ Tóm tắt: Bài báo đưa ra khái niệm mức độ thô nháp của hàm số f(x) cho trước đối với hệ hàm cơ sở đã cho. Trong bài đã dẫn ra ví dụ ở đó sự hội tụ theo luật của dãy các phân bố thiết kế tới giới hạn, kể cả khi các phân bố đó thuộc loại hỗn hợp (liên tục và rời rạc), cũng chưa đảm bảo sự hội tụ của độ thô nháp. Phân tích lưu lượng nước trung bình ngày đêm cực tiểu của sông Hồng đưa ra độ thô nháp của hàm mô hình đối thuyết và chỉ ra có tồn tại điểm chuyển trạng thái tại quan sát số 44 ứng với năm 1999. Từ khóa: Mô hình hồi quy, Thiết kế thí nghiệm, Điểm chuyển, Độ thô nháp, Sự hội tụ. 1. GIỚI THIỆU Khởi đầu, vấn đề điểm chuyển (change-point problem) xuất phát từ kiểm tra chất lượng, khi người ta quan sát đầu ra một dây chuyền sản xuất và muốn phát ra tín hiệu báo động khi số đo về sản phẩm vượt quá mức chấp nhận được. Một điều quan tâm trong dịch tễ học là phải chăng tỷ lệ mắc bệnh không đổi theo thời gian, và nếu có, ước tính số lần, (các) thời điểm thay đổi nhằm khuyến nghị các nguyên nhân có thể. Ví dụ khác là phân tích nhịp tim trong điện tâm đồ, ở đó việc dùng các phương pháp phát hiện điểm chuyển là phần then chốt của nhận dạng mẫu cũng như phân đoạn quá trình. Phát hiện điểm chuyển cũng là mối quan tâm trong xử lý các chuỗi thời gian chỉ số kinh tế phục vụ mục đích dự báo, tín hiệu địa chấn, hay chuỗi thời gian có tính chất phong tục, nghiên cứu văn bản lịch sử, bản thảo, trong các nghiên cứu về vị trí khảo cổ… Chính vì thế, nhiều nhà thống kê trong mấy chục năm gần đây đã nỗ lực nghiên cứu vấn đề điểm chuyển. Kiểm định sự tồn tại điểm chuyển có thể thấy trong các công trình [4], [5]. Ước lượng (ƯL) điểm chuyển thường tiến hành theo phương pháp hợp lý cực đại (xem [1], [6], [9]). Phương pháp dựa vào tổng tích lũy CUSUM (xem[3]) cũng rất được ưa chuộng. Tuy nhiên, trong các trường hợp khó khăn hơn do thiếu thông tin, người ta phải dùng đến phương pháp tái tạo mẫu boostrap (xem [8]). Phương pháp dãy để kiểm định và ƯL điểm chuyển làm tối thiểu hóa số quan sát cũng như cực tiểu thời gian từ lúc xảy ra điểm chuyển đến lúc phát hiện ra nó được đề cập đến trong [5]. Trong các công trình trên, khi cần tìm sức mạnh của kiểm định (the power of test), thường người ta chỉ dùng nghiên cứu mô phỏng đối với một lưới điểm của các tham số thống kê đối thuyết, mà không có một nghiên cứu đầy đủ về sức mạnh, không đưa ra được công thức hiển cho sức mạnh của kiểm định đưa ra. Có một ngoại lệ, đó là bài báo [7], ở đó đã chỉ ra công thức hiển cho hàm sức mạnh; tuy nhiên các quan sát ở đó dựa trên quá trình nhiễu trắng dừng, rất ít xảy ra trong những tình huống thực tế. Gần đây, vấn đề sức mạnh của kiểm định đã được gắn với độ thô nháp của hàm mô hình (xem [2]). Lợi thế của độ thô nháp là có thể dùng các phần mềm thống kê thông dụng như SPSS, EVIEW hay R để tính toán. Bài báo này phát triển những ý tưởng về độ thô nháp của hàm số và được bố trí như sau. Sau phần giới thiệu ở Bài 1, Bài 2 đưa ra các định nghĩa về độ thô nháp, nhắc lại một số khái niệm cần thiết, tính chất đã biết, cũng như những khảo sát mới khác về độ thô nháp. Bài 3 nêu một số ứng dụng của vấn đề nghiên cứu khi xử lý các số liệu về dòng chảy của Sông Hồng và cuối cùng là phần kết luận. 2. ĐỘ NHÁP CỦA HÀM SỐ THEO HỆ HÀM Đà CHO Cho f (x), x  [a, b] là hàm số được quan sát tại các điểm x i [a, b] , một số điểm x i có thể trùng nhau. Giả sử {u1 (x),..., u p (x)} là hệ các hàm số liên tục và độc lập tuyến tính 34 Phan Thu Hà, “Mức độ thô nháp của hàm số và ứng dụng.” Nghiên cứu khoa học công nghệ cho trước xác định trên [a, b]. Chúng ta muốn xấp xỉ hàm f(x) theo hệ hàm {u1 (x),..., u p (x)} tại các điểm x i , muốn vậy ta xét mô hình hồi quy f (x i )  a1u i (x i )  ...  a p u p (x i )  i , i  1,..., n . (1) Đặt u(x)  (u1 (x),..., u p (x)), U  (u(x)),..., (u(x))), Y  (f (x i ),..., f (x n )) ,   (1 ,...,  n ) , a  (a1 ,..., a p ); hệ (1) được viết lại dưới dạng ma trận Y  Ua   . (2) Lưu ý rằng trong bài báo này chúng ta dùng chữ in đậm để chỉ ma trận hoặc véc tơ, ma trận chuyển vị của ma trận A ký hiệu là A. Chúng ta luôn giả thiết rằng Rank(U )  p . ƯL làm cực tiểu tổng bình phương trung bình các sai số 1 n  (f (xi )  u(xi )a)2 n i 1 (3) là duy nhất và đạt được tại aˆ = (UU)1 UY . ƯL cho sai số của mô hình (1) là 1 n ...