Nén hiệu đa Mode từ các trạng thái kết hợp và trạng thái kết hợp thêm Photon

Bài viết Nén hiệu đa Mode từ các trạng thái kết hợp và trạng thái kết hợp thêm Photon trình bày: Trạng thái kết hợp thêm photon biểu hiện các tính chất phi cổ điển như là nén biên độ trực giao và thống kê sub-Poisson [1]. Trong một môi trường phi tuyến, mối liên hệ giữa nén hiệu đa mode từ các photon đơn mode ở ngõ vào với nén thông thường của photon có tần số hiệu ở ngõ ra được thiết lập thông qua các phương trình chuyển động Heisenberg,... Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Nén hiệu đa Mode từ các trạng thái kết hợp và trạng thái kết hợp thêm Photon NÉN HIỆU ĐA MODE TỪ CÁC TRẠNG THÁI KẾT HỢP VÀ TRẠNG THÁI KẾT HỢP THÊM PHOTON VÕ TÌNH Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế NGUYỄN TRUNG DŨNG Trường THPT Nghèn, Hà Tĩnh Tóm tắt: Trạng thái kết hợp thêm photon biểu hiện các tính chất phi cổ điển như là nén biên độ trực giao và thống kê sub-Poisson [1]. Trong một môi trường phi tuyến, mối liên hệ giữa nén hiệu đa mode từ các photon đơn mode ở ngõ vào với nén thông thường của photon có tần số hiệu ở ngõ ra được thiết lập thông qua các phương trình chuyển động Heisenberg. Nén hiệu đa mode tổng quát với các trạng thái kết hợp và kết hợp thêm photon sẽ được trình bày trong bài báo này. 1 GIỚI THIỆU Sự nghiên cứu mạnh mẽ về laser từ năm 1960 đã cho ra đời một loạt các khái niệm cơ bản trong quang lượng tử như trạng thái kết hợp, trạng thái nén ... Trạng thái phi cổ điển đầu tiên là trạng thái nén (squeezed state), được đưa ra lần đầu tiên bởi D. Stoler vào năm 1970. Tiếp theo là trạng thái kết hợp thêm photon (photon-added coherent state), trạng thái này biểu hiện rõ những đặc điểm phi cổ điển như nén biên độ trực giao và thống kê sub-Poisson [1]. Trạng thái nén bậc cao đa mode được khởi đầu bởi Hillery vào năm 1989 khi khảo sát hai trường hợp nén tổng và nén hiệu đơn giản nhất cho hai mode [4]. Sau đó Kumar và Gupta nâng trường hợp khảo sát lên ba mode [5]. Năm 2000 nén hiệu đa mode tổng quát đã được Nguyễn Bá Ân, Võ Tình khảo sát với các đơn mode kết hợp và đơn mode nén [2], [3]. Bài báo này trình bày khảo sát mở rộng công trình trên về nén hiệu đa mode tổng quát với các trạng thái kết hợp và trạng thái kết hợp thêm photon. Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế ISSN 1859-1612, Số 01(13)/2010: tr. 14-22 15 NÉN HIỆU ĐA MODE TỪ CÁC TRẠNG THÁI KẾT HỢP... 2 NÉN HIỆU ĐA MODE TỔNG QUÁT [2], [3] Xét một quá trình chuyển đổi tần số đa sóng nhờ môi trường phi tuyến, theo đó có N mode ở ngõ vào có tần số ω1 , ω2 , ..., ωN tương tác với môi trường phi tuyến để tạo ra một mode ở ngõ ra với tần số ΩD được cho bởi ΩD = K X N X ωk − ωj > 0 (1) j=K+1 k=1 trong đó 1 ≤ K < N (N ≥ 2). Quá trình vật lý này được mô tả bằng Hamiltonian sau ˆD = H N X N K ³ ´ Y Y + ωj n ˆ j + ΩD n ˆ D + gD cˆ+ c ˆ c ˆ + h.c . q p D j=1 p=K+1 (2) q=1 trong đó n ˆ j = cˆ+ ˆj , n ˆ D = cˆ+ ˆD , với cˆ+ ˆj là các toán tử sinh, hủy ứng với các mode ở j c j , c Dc + ngõ vào có tần số ωj và cˆD , cˆD là các toán tử sinh, hủy của mode ΩD ở ngõ ra. Hằng số tương tác phi tuyến gD thường nhỏ hơn tần số ωj , ΩD của các mode rất nhiều, do đó ta có thể biểu diễn các toán tử như sau cˆj = Cˆj exp(−iωj t), cˆD (t) = CˆD (t)exp(−iΩD t), (3) trong đó Cˆj (t), CˆD (t) biến thiên theo thời gian chậm hơn nhiều so với exp(−iωj t) và exp(−iΩD t). Toán tử tập thể ứng với các mode ωj được định nghĩa như sau: N K i h Y Y ˆ D (ϕ, t) = 1 exp(−iϕ) Q Cˆk (t) Cˆ + (t) + h.c , 2 k=1 (4) j=K+1 với ϕ là góc tạo bởi toán tử tập thểhtrên với trục thực của imặt phẳng phức. ˆ D (ϕ, t), Q ˆ D (ϕ + π , t) = i FˆD (N, t), trong đó Từ (4) ta suy ra hệ thức giao hoán Q 2 2 FˆD (N, t) = FˆD+ (N, t) = K Y (1 + n ˆ k (t)) k=1 N Y j=K+1 n ˆ j (t) − K Y k=1 n ˆ k (t) N Y (1 + n ˆ j (t)). (5) j=K+1 Như vậy, trạng thái tập thể của các mode ωj được gọi là nén hiệu đa mode tổng quát dọc theo hướng ϕ nếu 1 V QD (ϕ, t) − |hFˆD (N, t)i| < 0, (6) 4 ˆ D (ϕ, t)2 i − hQ ˆ D (ϕ, t)i2 . trong đó phương sai V QD (ϕ, t) = hQ Mối liên hệ giữa nén hiệu của các mode ωj ở ngõ vào với nén thông thường của mode ΩD ở ngõ ra được rút ra bằng cách dùng Hamiltonian (2) để thiết lập phương trình chuyển 16 VÕ TÌNH - NGUYỄN TRUNG DŨNG động cho các toán tử cần quan tâm, hệ phương trình thu được có dạng K N Y Y ∂ Cˆl (t) ˙ Cˆl (t) ≡ = −igD CˆD (t) Cˆk+ (t) Cˆj (t) (1 ≤ l ≤ K), ∂t K Y ∂ Cˆl (t) ˙ = −igD CˆD (t) Cˆk+ (t) Cˆl (t) ≡ ∂t k=1 (7) j=K+1 k=1,k6=l N Y Cˆj (t) (K + 1 ≤ l ≤ N ), (8) j=K+1,j6=l N K Y Y ∂ CˆD (t) ˙ + ˆ ˆ Cˆj (t). CD (t) ≡ = −igD Ck (t) ∂t k=1 (9) j=K+1 ˆ Đạo hàm riêng phần bậc hai theo thời gian của C(t) được suy ra từ (9) ¨ 2 ˆ CD (t)FˆD (N, t). CˆD (t) = −gD (10) Từ đây, trong phép gần đúng thời gian ngắn, sự phụ thuộc thời gian của nghiệm CˆD (t) dưới dạng khai triển Taylor đến bậc hai có dạng (quy ước CˆD ≡ CˆD (t = 0), ...) CˆD (t) = CˆD − igD t K Y k=1 Cˆk N Y j=K+1 g 2 t2 ˆ ˆ Cˆj+ − CD F (N ). 2 (11) Phương trình (11) cũng cho thấy CˆD (t) phụ thuộc vào gD t hơn là t, biểu hiện sự biến thiên chậm hơn nhiều của CˆD (t) so với sự biến thiên của cˆD (t) ∝ exp (−iΩD t). Điều này hoàn toàn phù hợp với biểu thức được đưa ra ở (3). Gọi i h ˆ C (ϕ, t) = 1 CˆD (t) exp (−iϕ) + Cˆ + (t) exp (iϕ) X D D 2 (12) là toán tử biên độ trực giao của mode ΩD ở ngõ ra. Thế (11) vào (12) và xét trường hợp ban đầu mode ngõ ra ở trạng thái kết hợp hoặc chân không, nghĩa là V XCD (ϕ) = 1/4 thì ta có phương trình với phương sai của biên độ trực giao này là # ˆD (N )i h F ...