Nghiệm thu đề tài cấp Cơ sở: Định lí Farkas mở rộng cho hệ có chứa ràng buộc lồi đảo và ứng dụng

Nghiệm thu đề tài cấp Cơ sở: Định lí Farkas mở rộng cho hệ có chứa ràng buộc lồi đảo và ứng dụng trình bày tổng quan sự phát triển của các dạng mở rộng của Bổ đề Farkas trong các thập niên gần đây; kết quả mới của đề tài, mở rộng Bổ đề Farkas cho các hệ có chứa các bất đẳng thức lồi và các bất đẳng thức DC; áp dụng của các dạng mở rộng của Bổ đề Farkas vào các bài toán quy hoạch DC với ràng buộc lồi theo nón và ràng buộc tập.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Nghiệm thu đề tài cấp Cơ sở: Định lí Farkas mở rộng cho hệ có chứa ràng buộc lồi đảo và ứng dụng BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH KHOA TOÁN-TIN HOC NGHIỆM THU ĐỀ TÀI CẤP CƠ SỞ Định lí Farkas mở rộng cho hệcó chứa ràng buộc lồi đảo và ứng dụng Mã số: CS.2005.23.77 Người thực hiện: PGS.TS. Nguyễn Định Tp. Hồ Chí Minh, 2/2006 TÓM TẮT KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI Định lí Farkas mở rộng cho hệ có chứa ràng buộc lồi đảo và ứng dụng Mã số: CS.2005.23.77 BÁO CÁO TỔNG QUAN Bổ đề Farkas đóng một vai trò cơ bản trong lí thuyết tối ưu tuyến tính cũng như tối ưuphi tuyến. Trong những thập niên vừa qua, Bổ đề Farkas đã được mở rộng và phát triểnra cho các hệ tuyến tính (vô hạn chiều), các hệ phi tuyến cũng như các hệ đa trị, dưới cácdạng khác nhau. Cùng với các mở rộng này là áp dụng của nó vào lí thuyết quy hoạchlồi nửa vô hạn, quy hoach lồi tổng quát, các bài toán quy hoạch lồi nửa các định (convexsemi-definite programs (SDP)), các bài toán tối ưu đa mục tiêu. Kết quả nghiên cứu của đề tài đã được viết thành 3 bài báo trong đó có 2 bài đăngtrong Tạp chí Khoa học của Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh và 1 bài sẽ gửiđăng trên một tạp chí toán quốc tế. Các kết quả này sẽ được trình bày trong 3 chương sauđây và toàn văn 3 bài báo sẽ được đính kèm ở phần sau trong tập báo cáo nghiệm thu này. Chương 1 trình bày tổng quan sự phát triển của các dạng mở rộng của Bổ đề Farkastrong các thập niên gần đây, bao gồm các dạng trong không gian hữu hạn chiều và khônggian vô hạn chiều; cả các dạng tiệm cận và không tiệm cận mới được thiết lập trong nhữngnăm cuối của thế kỉ 20 và những năm đầu của thế kỉ 21, cùng với những áp dụng đa dạngcủa các dạng mở rộng này trong lý thuyết tối ưu. Chương 2 là các kết quả mới của đề tài,mở rộng Bổ đề Farkas cho các hệ có chứa các bất đẳng thức lồi và các bất đẳng thức DC.Chương 3, trình bày các áp dụng của các dạng mở rộng của Bổ đề Farkas vào các bài toánquy hoạch DC với ràng buộc lồi theo nón và ràng buộc tập. 1 Chương I CÁC KẾT QUẢ DẠNG FARKAS MỞ RỘNG VÀ ÁP DỤNG VÀO LÍ THUYẾT CÁC BÀI TOÁN TỐI ƯU LỒI1 Giới thiệuBổ đề Farkas cổ điển được phát biểu như sau:Bổ đề 1.1 Giả sử a1 , a2 , ...., am , c ∈ Rn . Khi đó các mệnh đề sau là tương đương: (i) aTi x ≥ 0, i = 1, 2, ..., m =⇒ P cT (x) ≥ 0, (ii) (∃λi ≥ 0, i = 1, 2, ..., m) c = m i=1 λi ai .Dạng cổ điển và đơn giản này đã được áp dụng một cách hiệu quả để nghiên cứu nhiềulớp các bài toán tối ưu tuyến tính cũng như phi tuyến. Điều này là động lực để các nhàtoán học tìm kiếm các dạng tổng quát hơn nhằm mở rông phạm vi áp dụng của nó, chẳnghạn vào các bài toán điều khiển tối ưu, các bài toán quy hoạch vô hạn hoặc áp dụng vàolớp các bài toán nửa xác định đang phát triển và có rất nhiều ứng dụng trong những nămgần đây. Để có thể trình bày các mở rộng của Bổ đề Farkas, trước hết ta nêu ra một số kháiniệm cơ bản của giải tích lồi mà chúng ta sẽ sử dụng thường xuyên trong chương này vàcác chương sau. Cho f : X → R ∪ {+∞}. Miền hữu hiệu của f là tập dom f = {x ∈ X | f (x) < +∞}.Hàm f được gọi là chân chính nếu domf 6= ∅. Giả sử f : X → R ∪ {+∞} là một hàm lồi chân chính và nửa liên tục dưới (l.s.c.).Hàm đối ngẫu của f , f ∗ : X ∗ → R ∪ {+∞}, được định nghĩa bởi f ∗ (v) = sup{v(x) − f (x) | x ∈ dom f }.Epigraph của f , kí hiệu là epif , là tập epi f = {(x, r) ∈ X × R | x ∈ dom f, f (x) ≤ r}. Với ε ≥ 0, ε-dưới vi phân của f tại a ∈ domf được định nghĩa là tập lồi đóng yếu∗ ∂ε f (a) := {v ∈ X 0 | f (x) − f (a) ≥ v(x − a) − ε, ∀x ∈ dom f }.Để ý rằng ∂ε f (a) 6= ∅ nếu > 0. Khi = 0 ta quay trở lại khái niệm dưới vi phân củahàm f tại a theo nghĩa thông thường của giải tích lồi. Trong trường hợp này ta sẽ kí hiệulà ∂f (a) (thay vì ∂0 f (a)). Dưới vi phân của một hàm lồi luôn là tập lồi, compact yếu∗ (cóthể là tập rỗng). 22 Các kết quả dạng Farkas mở rộngSự thành công của việc vận dụng Bổ đề Farkas trong các bài toán tối ưu tuyến tính cũngnhư sự hữu ích của nó trong việc nghiên cứu các bài toán tối ưu phi tuyến đẫ dẫn đến nhucầu mở rộng bổ đề này cho các hệ tuyến tính vô hạn chiều, các hệ phi tuyến, các hệ liênquan đến các ánh xạ đa trị, ... Chúng ta sẽ đề cập ở đây một số dạng mở rộng tiêu biểu.Tuy nhiên, chỉ có một số kết quả quan trọmg mới đây sẽ được trình bày chi tiết. • Bổ đề Farkas cho hệ tuyến tính vô hạn chiều. • Bổ đề Farkas cho hệ không trơn. • Các kết qủa mở rộng dạng Farkas cho các hệ lồi theo nón. Trong m ...