Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Định lý tách và một số ứng dụng

Luận văn được chia làm ba chương. Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ sở của tập lồi và hàm lồi. Chúng là những công cụ cơ bản nhất cho những nghiên cứu được trình bày trong luận văn. Chương 2 là phần chính của luận văn, trong chương này tác giả trình bày nội dung hai định lý tách và hệ quả (Bổ đề Farkas). Chương 3 trình bày các ứng dụng của hai định lý tách để: Chứng minh các điều kiện tối ưu, giải hệ bất đẳng thức lồi, xấp xỉ tuyến tính hàm lồi bởi các hàm non a-phin của nó, chứng minh sự tồn tại dưới vi phân của hàm lồi, vô hướng hóa bài toán tối ưu véc tơ.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Định lý tách và một số ứng dụngMỤC LỤCMở đầu 2Chương 1. Các khái niệm cơ bản 4 1.1. Tập lồi…………………………………………………………….. 4 1.1.1 Tổ hợp lồi…………….………………………..…..... ….. 4 1.1.2 Tập a-phin, tập lồi đa diện……………………………..… 6 1.1.3 Nón lồi………………………………………… …….….. 11 1.2. Hàm lồi…………………………………………………….……. . 15Chương 2. Định lý tách các tập lồi. 21 2.1. Định lý tách 1…………………………………………………..… 21 2.2. Định lý tách 2………………………………………………… ….. 26Chương 3. Một số ứng dụng của định lý tách. 27 3.1. Điều kiện tối ưu…………………….………………………………32 3.2. Hệ bất đẳng thức lồi…………………………………………...….. 36 3.3. Xấp xỉ tuyến tính của hàm lồi………………..……………………..41 3.4. Sự tồn tại dưới vi phân của hàm lồi……………………………..…43 3.5. Ứng dụng trong phép vô hướng hóa bài toán véctơ…….…………46Kết luận 51Tài liệu tham khảo 52 1MỞ ĐẦU Giải tích lồi là một bộ môn cơ bản của giải tích hiện đại, nghiên cứu về tậplồi và hàm lồi cùng những vấn đề liên quan. Bộ môn này có vai trò quan trọng trongnhiều lĩnh vực khác nhau của toán học ứng dụng, đặt biệt là trong tối ưu hóa, bấtđẳng thức biến phân, các bài toán cân bằng. Một trong những vấn đề trung tâm của giải tích lồi là các định lý tách. Vềbản chất, định lý tách trả lời câu hỏi rằng một phần tử có thuộc một tập lồi haykhông, và nếu không thuộc thì nó sẽ mang tính chất gì? Đây là câu hỏi về liênthuộc, một vấn đề cơ bản của toán học. Ta có thể hình dung tập lồi đó là tập hợpnghiệm của một hệ phương trình đại số, hay vi, tích phân, tập các điểm bất động củamột ánh xạ, hay là tập nghiệm của một bài toán tối ưu,…Dĩ nhiên nếu câu trả lời làcó, thì vấn đề liên thuộc đã được giải quyết. Trái lại, nếu câu trả lời là không, thì sẽxảy ra điều gì? Điều này giải thích vì sao các định lý tách thuộc loại các định lýchọn và là công cụ rất mạnh, thường được dùng để chứng minh sự tồn tại của mộtđối tượng trong nhiều vấn đề thuộc những lĩnh vực khác nhau. Trong luận văn này, tác giả tập trung vào việc trình bày hai định lý tách vànhững ứng dụng quan trọng. Luận văn được chia làm ba chương: Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ sở của tập lồi và hàm lồi. Chúng lànhững công cụ cơ bản nhất cho những nghiên cứu được trình bày trong luận văn. Chương 2: Là phần chính của luận văn, trong chương này tác giả trình bàynội dung hai định lý tách và hệ quả (Bổ đề Farkas). Chương 3: Trình bày các ứng dụng của hai định lý tách để: Chứng minh cácđiều kiện tối ưu, giải hệ bất đẳng thức lồi, xấp xỉ tuyến tính hàm lồi bởi các hàmnon a-phin của nó, chứng minh sự tồn tại dưới vi phân của hàm lồi, vô hướng hóabài toán tối ưu véc tơ. 2 Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TSKH LêDũng Mưu, Viện Toán học, người thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả trongsuốt quá trình hoàn thành bản luận văn này. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chânthành và kính trọng sâu sắc đối với Giáo sư. Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn tới các thầy cô giáo trường Đại học Khoa họcTự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội về những ý kiến đóng góp quý báu, sự giúp đỡtận tình và sự cổ vũ hết sức to lớn trong suốt thời gian qua. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng sau Đại học, khoaToán – Cơ – Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nộiđã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập tại trường. Bản luận văn được hoàn thành trong quá trình con gái của tác giả trào đời,được sự ủng hộ về mặt tinh thần từ hai mẹ con. Kết quả của luận văn chính là mónquà mà tác giả giành tặng cho hai mẹ con. 3Chương 1CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Trong chương này, chúng tôi trình bày những khái niệm cơ bản trong giảitích lồi cùng với những tính chất đặc trưng của nó như: tập lồi, tập a-phin, nón nồi,hàm lồi…1.1. Tập lồi Những tập hợp quen thuộc mà chúng ta đã biết như không gian con, siêuphẳng, … đều là tập lồi. Khái niệm về tập lồi có một vai trò quan trọng trong giảitích lồi. Trong phần này chúng tôi trình bày định nghĩa, tính chất của tập lồi, tập a-phin, tập lồi đa diện, nón lồi.1.1.1 Tổ hợp lồi.Định nghĩa 1.1 Một đường thẳng nối hai điểm (véc tơ) a và b trong R n là tập hợp tất cảcác điểm (véc tơ) x  R n có dạng x  R n | x  (1   )a  b,   R . Một đoạn thẳng nối hai điểm (véc tơ) a và b trong R n là tập hợp tất cả cácđiểm (véc tơ) x  R n có dạng x  R n | x  (1   )a  b, 0    1 .Định nghĩa 1.2 Một tập C  R n được gọi là một tập lồi nếu C chứa mọi đoạn thẳng đi quahai điểm bất kỳ của nó. Tức là C lồi khi và chỉ khi x, y  C ,    0;1  (1   ) x   y  C .Ta nói véc tơ x  R n gọi là tổ hợp lồi của các véc tơ x1 , x 2 ,..., x m  R n nếu 4 m m x   i xi , i  0i  1, 2,..., m,  i  1. i 1 i 1Mệnh đề 1.1 [xem [2], mệnh đề 1.1) Một tập con của R n là tập lồi khi và chỉ khi nó chứa mọi tổ hợp lồi của cácđiểm của nó. Tức là C lồi khi và chỉ khi: k ...