Nghiên cứu các kỹ thuật điều khiển tự động (Tập 1): Phần 2

Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 cuốn sách "Kỹ thuật điều khiển tự động (Tập 1)" cung cấp cho người đọc các nội dung: Mô hình toán học, biểu diễn hệ bằng phương trình vi phân trạng thái. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Nghiên cứu các kỹ thuật điều khiển tự động (Tập 1): Phần 2 CHƯƠNG 6 MÔ HÌNH TOÁN HỌC Từ các hiện tượng trong tự nhiên, chúng ta phân tích và xây dựng mô hình cho các hiện tượng trẽn cơ sở Các phần tử cơ bản. Đ ể hiểu và điều khiển được chúng ta cần phải có m ô hình toán học. Phép biểu diễn m ối quam hệ giữa các biến cùa hệ ờ dạng phương trình được gọi là mô hình toán học. M uốn có m ô hình toán, cần phải phân tích m ô hình và biểu diễn m ối quan hệ giữa các biến trong m ô hình bằng cấc phương trình vi phân. Thực tế, phần lớn các phần tử có m ối quan hệ cơ bản là hàm phi tuyến, vì vậy hệ phương trình nhận được cũng là hệ phương trình vi phân phi tuyến. Để đơn giản cho quá trình phân tích, thiết kế, chúng ta đã xây dựng m ô hình mô tả hệ với m ột số giả thiết để các phẩn tử của hệ là phần tử lý tưởng, vì vậy hệ phương trình m ô tả là các phương trình vi phẫn tuyến tính. Bằng công cụ toán học như chuyển đổi Laplace, sơ đổ khói, graph dòng tín hiệu và các công cụ khác cho phép chúng ta giải phương trình tìm đáp ứng cùa hệ. 6.1 TÍN HIỆU V À O -R A Mỗi hệ thống luôn tồn tại hai nhóm biến. Nhóm biến thứ nhất bắt nguồn từ ngoài h ệ và nó độc lập với quá trình xảy ra trong hệ, nhóm biến này được gọi là biến vào. Nhóm biến th ứ hai được sinh ra bởi hệ và nó tồn tại cùng với hệ, nhóm biến này được gọi là b iến ra . Hai nhóm biến trên đều không thể hiện trạng thái của chính hệ. Bởi vậy, sự biến đổi trạng thái hệ được biểu diễn bởi biến, biến đó gọi là biến trạ n g th ái. Biến trạng thái dùng m ô tả tổng hợp trạng thái cùa hệ ở thời điểm cố định nào đó. HINH 6-1 Sa đò khói biểu diên Lệ rnôt tía hiệu vào-xa M ột hệ có thê có m ột hoặc nhiều biến vào và m ột hoặc nhiều biến ra. Hệ chỉ có một biến vào và m ột biến ra được chỉ rõ ở sơ đồ khối hình 6-1. M ối quan hệ giữa biến vào X và biến ra y của hệ m ột biến vào-ra được biểu diễn bời phương trình vi phân bậc n : , dx d ' 'x dy d'y dl dt dl dt 14S Trong các hệ kỹ thuật thường tồn tại tính trễ vốn có của nó bời vậy, bậc cùa tín hiệu vào nhỏ hơn tín hiệu ra m < n . N ếu hệ m à thời gian 1 không phải là đối sí tường m inh của hàm / hệ đó được gọi là h ệ tự đ iề u k h iể n và biểu diễn bởi phương trình vi phân: , , dx d mx dy d 'yL) - 0 '= ' (6.2) f d t ’ ' ' d t m ' y ' d t ’ ’ dt' Đ ối với hệ tuyến tính ổn định, hàm / là tổng các thành phần tuyến tính đối vối đối sò' của nó và phương trình biến vào-ra được viết: d'y d nAy dy dt dt dt (6.3) d mx u d''~'x , dx b„ — + b,„ - 1 + - * 1— + V dtm ' d r' ■ dt T rong đó a 0, a ,, :..a„ và bữ,b I, là hệ số. Phương trình (6.1), (6.2) và (6.3) là phương trình tổng quát của hệ có m ột biến vào và m ột biến ra.. V >y 1 *2 - Hệ độag lực ■ /2 HINH 6-2 Sơ dổ tbối bieu diẻa bệ abiểu bica vòo-ra Đ ối với hệ tuyến tính có k biến vào và p biến ra như chỉ ra trên sơ đổ khối hình 6- 2 , được m ô tả bởi p phương trình biến độc lập vào-ra: ............ , x [ m\ . . . x k , x k , t ) = 0 f , S y { \ - ỳ ì , y 1, x \ m\ . . . x i , x ị ,x[m\ . . . x 1, x 1 ỉ x[m\ . . . x k , x k , t ) = 0 (6.4) f p ( y i n),...ỷl, , y ll, x ị m\ . . . x t , x ì , x ị m\..Jcỉ , x 2, .......... x[m\ . . . x k , x k , t ) = 0 p trong đó m < n . Nếu hệ là tuyến tính, hàm f ị , f 2 ■■■fr là tổ hợp tuyến tính của tín hiệu vào-ra và các đạo hàm cùa nó, phương trình cùa hệ đa tín hiệu vào-ra viết dưới dạng rút gọn là: .(»0 Ì X y í° = Ế Ỉ>1 jk*T i=0 7=1 h=0 n k m /= 0 7=1 h=0 (6.5) Ế a r ,y p >=Ế í l brji.x T 1=0 1 = 1 h =0 146 Chú ý rằng ứ và Ế là hệ số, hệ số này cũng có thể bằng không và cũng có thể bằng nhau a u = a 2l = •■■= a p l, với i = 1 ,2 ,3 ..,« . Đ ể sáng tò, chúng ta xét hệ cơ học gồm trục có khối lượng m đặt trên ổ trượt được bói trơn dầy đủ (ổ trượt sinh ra lực cản tỷ lệ với tốc độ chuyển động của trục) và lực f ( t ) tác dụng làm trục chuyển động tịnh tiến theo phương X , kết cấu hệ chỉ rõ trên hình 6-3. Thâu ổ ...