Nguyên tắc Dirichlet – toán rời rạc - lôgic

B1: Ở miền trong của một hình vuông cạnh bằng 1 có một tứ giác lồi diện tích lớn1 . Chứng minh rằng tồn tại một đoạn thẳng có hai đầu mút ở trên...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Nguyên tắc Dirichlet – toán rời rạc - lôgic Nguyên tắc Dirichlet – toán rời rạc - lôgicB1: Ở miền trong của một hình vuông cạnh bằng 1 có một tứ giác lồi diện tích lớn 1hơn . Chứng minh rằng tồn tại một đoạn thẳng có hai đầu mút ở trên cạnh của tứ 2 1giác, song song với cạnh của hình vuông và có độ dài lớn hơn 2B2: Mỗi ô vuông đơn vị của bảng kích thước 10 x 10 (10 dòng, 10 cột) đựơc ghi mộtsố nguyên dương không vượt quá 10 sao cho bất kì hai số nào ghi trong hai ô chungmột cạnh hoặc hai ô chung một đỉnh của bảng là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứngminh rằng có số được ghi ít nhất 17 lầnB3: Cho hình vuông ABCD có AB = 14cm. Trong hình vuông có đánh dấu 76 điểmphân biệt. Chứng minh rằng tồn tại một đường tròn có bán kính 2cm chứa trong nó ítnhất 4 điểm trong số các điểm trên.B4: Trong một giải đấu bóng đá, có 4 đội thi đấu vòng tròn một lượt (trong một trận,đội thắng đựơc 3 điểm, đội hoà được 1 điểm, đội thua đượưc 0 điểm). Khi kết thúcgiải đấu, người ta thấy có 3 đội đạt được tổng số điểm lần lượt là 6 điểm, 5 điểmvà 1 điểm. Hãy cho biết đội còn lại của giải có tổng số điểm là bao nhiêu và giảithích tại sao?B5: Cho 13 số thực thoả mãn điều kiện tổng của 6 số bất kì đều nhỏ hơn tổng của 7số còn lại. Chứng minh rằng tất cả 13 số đã cho đều dươngB6: Cho S là một tập hợp gồm ba số tự nhiên có tính chất: tổng hai phần tử bất kìtuỳ ý của S là một số chính phương (Ví dụ S = {5, 20, 44} hoặc S = {10, 54, 90} làcác tập hợp thoả mãn điều kiện trên). C/m trong tập S không có quá một số lẻ.B7: Cho một lưới vuông kích thước 5 x 5. Người ta điền vào mỗi ô của lưới mộttrong các số: -1; 0; 1. Xét tổng của các số được tính theo từng cột, theo từng hàng vàtheo từng đường chéo. C/m trong tất cả các tổng đó luôn tồn tại 2 tổng có giá trị bằngnhauB8: Trong một hình chữ nhật có diện tích bằng 5 chứa chín hình chữ nhật nhỏ màmỗi hình có diện tích bằng 1. Chứng minh tồn tại 2 hình chữ nhật nhỏ có diện tích 1phần chung không nhỏ hơn 9B9: Đội bóng bàn của trường A thi đấu với đội bóng bàn của trường B, mỗi đấu thủcủa trường này thi đấu với mọi đấu thủ của trường kia 1 trận. Biết rằng tổng sốtrận đấu bằng 4 lần tổng số đấu thủ của cả hai đội và số cầu thủ của trường B làsố lẻ. Tìm số đấu thủ mỗi độiB10: Cho A là tập hợp gồm 6 phần tử bất kì của tập hợp {0; 1; 2; …; 14}. Chứngminh rằng tồn tại hai tập hợp con B1 và B2 của tập hợp A (B1 và B2 khác nhau và khácrỗng) sao cho tổng tất cả các phần tử của hai tập này bằng nhau.B11: Cho 33 điểm nằm trong hình vuông có độ dài cạnh bằng 4, trong đó không có bađiểm nào thẳng hàng. Người ta vẽ các đường tròn có bán kính bằng 2 và tâm là cácđiểm đã cho. Hỏi có hay không ba điểm trong các điểm đã cho sao cho chúng đềuthuộc phần chung của ba hình tròn có tâm cũng chính là ba điểm đó? Ví sao?B12: Chứng minh rằng luôn tồn tại một số tự nhiên N có không quá 2007 chữ số saocho các chữ số của N chỉ là 9 hoặc 0 và N chia hết cho 10030.B13: Trong mặt phẳng cho 2009 điểm, sao cho ba điểm bất kì trong chúng là ba đỉnhcủa một tam giác có diện tích không lớn hơn 1. Chứng minh rằng tất cả những điểmđã cho nằm trong một tam giác có diện tích không lớn hơn 4.B14: Cho 3 điểm phâm biệt nằm trong hay trên cạnh một tam giác đều có cạnh băng6cm. Chứng minh rằng luôn tồn tại hai điểm trong số 13 điểm đã cho mà khoảngcách giữa chúng không vượt quá 13 cm.B15: Trong mặt phẳng cho 2010 điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳnghàng và không có bốn điểm nào cùng nằm trên một đường tròn. Chứng minh rằngtrong 2010 điểm đã cho, có thể dựng được một đường tròn đi qua ba điểm, chứa1000 điểm và không chứa 1007 điểm còn lại.B16: Trong một hình vuông cạnh 1, ta lấy 51 điểm tuỳ ý. Chứng minh rằng luôn tìm 1được ít nhất 3 điểm nằm trong một hình tròn bán kính R = 7B17: Trong mặt phẳng cho hình vuông. Người ta vẽ 9 đường thẳng sao mỗi đường 2thẳng chia hình vuông thành 2 tứ giác có tỉ số diện tích . Chứng minh rằng tồn tại ít 3nhất 3 đường thẳng đồng quyB18: Cho đa giác lồi n - cạnh (n ≥ 5) được đặt trong hệ toạ độ vuông góc. Biết 5đỉnh của đa giác có toạ độ là những số nguyên, hãy chứng minh rằng ít nhất có mộtđiểm thuộc miền trong hoặc trên cạnh của đa giác có toạ độ là các số nguyênB19: Trên mặt phẳng cho 6 điển tuỳ ý, không có 3 điểm nào thẳng hàng. Người tanối 2 trong các điểm đã cho với nhau bằng một đoạn thẳng có màu đỏ hoặc xanh.Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một tam giác có 3 cạnh là 3 đoạn thẳng cùng màu.B20: Một rừng thông mọc trên lô đất hình vuông cạnh 1 km. Biết rằng tất cả rừng có4500 cây thông, mỗi cây có chu vi 50cm. Chứng minh rằng có thể chọn trong khurừng đó 60 mảnh đất hình chữ nhật có kích thước 10m x 20m, mà trong đó không cómột cây thông nào mọcB21:Cho hai tập hợp A, B thoả mãn các điều kiện: a) Mỗi tập hợp đều gồm các số nguyên dương khác nhau và nhỏ hơn 1990 b) Tổng số phần tử của A và B lớn hơn 1990C/m tồn tại ít nhất một phần tử của A và một phần tử của B có tổng bằng 1990B22: Với mỗi số nguyên dương r , xác định số nguyên nhỏ nhất h(r) ≥ 1 sao cho vớimọi cách chia tập {1, 2, …, h(r) } thành r tập con đều tồn tại các số nguyên a ≥ 0, y≥ x ≥ 1 sao cho a + x, a + y + y thuộc cùng một tập conB23: Cho n (n ≥ 2) em học sinh đứng thành hàng dọc. Sau mỗi lần cô giáo thổi còi, cóhai em đổi chỗ cho nhau. Hỏi, sau một số lẽ lần thổi còi, ta có thể thấy tất cả các emhọc sinh đều đứng ở vị trí ban đầu của mình hay không?B24: Cho bàn cờ vua n x n ô. Dán mép trái và mép phải của bàn cờ với nhau, sao chomặt bà ...